Die Normale im Wendepunkt schließt mit K_{6} zwei Flachenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt eines Flächenstücks.

Question

Aufgabe:

2. Für jedes \( t \in \mathbb{R}^{*} \) ist eine Funktion \( f_t \) gegeben durch

\( \mathrm{f}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x}) = \frac{1}{\mathrm{t}}x^3 - 2x^2 +tx ; \quad x \in \mathbb{R} \)

Das Schaubild von \( f_{t} \) ist \( K_{r} \).

2.1 Die Normale im Wendepunkt von \( \mathrm{K}_{6} \) schließt mit \( \mathrm{K}_{6} \) zwei Flachenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt eines dieser Flächenstücke.

2.2 Betrachten Sie Schaubilder für positive und negative Werte von t. Wie unterscheiden sich die Schaubilder für negative Werte von t von denen für positive Werte von t? Geben Sie gemeinsame Eigenschaften der Schaubilder an. Skizzieren Sie zwei Schaubilder.

2.3 Zeigen Sie, dass alle Schaubilder \( \mathrm{K}_{1} \) einen Tiefpunkt auf der x-Achse haben.

Ansatz:

Ich habe für t die zahl 6 eingesetzt und dann Die Gleichung abgeleitet um die Wendepunkte raus bekommen zu können dann habe ich den x-wert 4 in die erste Gleichung eingesetzt W(4/ 8/3) ich komme nicht weiter ich brauvvhe die grenzen um mit der Integration weiter zu machen.

Answer 1

Bis dahin hast Du alles richtig gerechnet:
f6(x) = 1/6 x^3 - 2 x^2 + 6 x

f'6(x) = 1/2 x^2 - 4 x + 6

f''6(x) = x - 4

Wendepunkt also an (4 | 8/3)

Die Tangente in diesem Punkt hat den gleichen Anstieg wie f6(x), also

f'6(x) = 8 - 16 + 6 = -2

Die Normale in diesem Punkt hat als Anstieg den negativen Kehrwert der Tangente, also

1/2

Damit lautet die Gleichung der Normalen im Wendepunkt:
f'(x0) (x-x0) + f(x0) =

n = 1/2 (x-4) + 8/3

Jetzt kannst Du n = f6(x) setzen

1/2 (x-4) + 8/3 = 1/6 x^3 - 2 x^2 + 6x

und erhältst damit die Schnittpunkte der Normalen mit dem Funktionsgraphen und damit auch Deine Integrationsgrenzen.
Alles verstanden?