Grenzwert berechnen, Limes

Question

wie berechne ich den Grenzwert der Funktion f(x)= x² wenn a=Wurzel aus 3 ist? Und noch eine Frage: warum funktioniert die h-methode bei der funktion f(x)=3^x a= 1 und f(x)=sin(x) a=pi/4 nicht?

Comments

Reicht auch, wenn ihr nur erklärt, warum die h-Methode bei Exponentiellen Funktionen nicht funktioniert oder bei Sinusfunktion en...

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Habe 2√3 raus als Grenzwert ist das richtig?

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Du redest von der Ableitung an der stelle a, richtig?Für f(x)=x^2 stimmt   2√3 als Ableitung für x=√3.  Die h-Methode funktioniert bei jeder Funktion, auch sin und Exponentialfunktion.

Answer 1

wie man die h-Methode bei Potenzfunnktionen anwendet weißt du ja schon,

bei Exponentialfunktion bzw. Sinusfunktion ist es analog, man braucht lediglich ein paar zusätzliche Rechenumformungen. Ich zeige es mal am Beispiel des Sinus :

$$f(x)=sin(x)$$

$$f´(x)=\lim_{h\to0}\frac { sin(x+h)-sin(x) }{ h }$$

Als nächstes verwendet man ein Additionstheorem, um den Zähler zu verwandeln:

$$sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)$$

$$\lim_{h\to0}\frac { sin(x+h)-sin(x) }{ h }=\lim_{h\to0}\frac {sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x) }{ h }=\lim_{h\to0}\frac {sin(x)*(cos(h)-1)+cos(x)*sin(h)}{ h }=\lim_{h\to0}\frac {sin(x)*(cos(h)-1)}{ h }+\lim_{h\to0}\frac {cos(x)*sin(h)}{ h }=sin(x)*\lim_{h\to0}\frac {cos(h)-1}{ h }+cos(x)*\lim_{h\to0}\frac {sin(h)}{ h }$$

DIese beiden grenzwerte muss man nun bestimmen wobei man nicht für h einfach Null einsetzten darf, weil dann 0/0 steht. Es gibt mehrere Möglichkeiten diese Grenzwerte zu beweisen, aber man kann auch einfach mal kleine h einsetzten und schauen was passiert:

$$\frac { cos(10^-6)-1 }{ 10^-6 }=5*10^-7\approx0$$

$$\frac {sin(10^-6)}{ 10^-6 }=0.999999999999833333\approx1$$

Also bleibt im Grenzübergang nur der cos(x) Term

$$f´(x)=cos(x)$$