wie man die h-Methode bei Potenzfunnktionen anwendet weißt du ja schon,
bei Exponentialfunktion bzw. Sinusfunktion ist es analog, man braucht lediglich ein paar zusätzliche Rechenumformungen. Ich zeige es mal am Beispiel des Sinus :
$$ f(x)=sin(x) $$
$$ f´(x)=\lim_{h\to0}\frac { sin(x+h)-sin(x) }{ h }$$
Als nächstes verwendet man ein Additionstheorem, um den Zähler zu verwandeln:
$$sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)$$
$$ \lim_{h\to0}\frac { sin(x+h)-sin(x) }{ h }=\lim_{h\to0}\frac {sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x) }{ h }=\lim_{h\to0}\frac {sin(x)*(cos(h)-1)+cos(x)*sin(h)}{ h }=\lim_{h\to0}\frac {sin(x)*(cos(h)-1)}{ h }+\lim_{h\to0}\frac {cos(x)*sin(h)}{ h }=sin(x)*\lim_{h\to0}\frac {cos(h)-1}{ h }+cos(x)*\lim_{h\to0}\frac {sin(h)}{ h }$$
DIese beiden grenzwerte muss man nun bestimmen wobei man nicht für h einfach Null einsetzten darf, weil dann 0/0 steht. Es gibt mehrere Möglichkeiten diese Grenzwerte zu beweisen, aber man kann auch einfach mal kleine h einsetzten und schauen was passiert:
$$ \frac { cos(10^-6)-1 }{ 10^-6 }=5*10^-7\approx0$$
$$ \frac {sin(10^-6)}{ 10^-6 }=0.999999999999833333\approx1$$
Also bleibt im Grenzübergang nur der cos(x) Term
$$ f´(x)=cos(x)$$
