Linienintegral berechnen. Vektor E=(6xy,3x^2-3y^2) . Parametrisieren nötig und wie?

Question

Ich habe ein Problem beim berechnen des Linienintegrals. Und zwar soll ich den Vektor E=(6xy,3x²-3y²) vom Punkt (0,0,0), über (x₁,0,0) zum Punkt (x₁,y₁,0). Ich weiß vor allem nicht wie ich das am besten Parametrisiere bzw. ob das nötig ist.

Danke schon mal für die Hilfe

Answer 1

Hi,

$$ E(x,y)=(6xy,3x^2-3y^2,0)$$

Die Null ist die z-Komponente, aber das ist nicht so wichtig.

$$rot(E(x,y))=(0,0,0)$$

---> Das Linienintegral ist wegunabhängig, also wähle am einfachsten eine Gerade von (0,0,0) nach (x₁,y₁,0)

Parametrisierung:

$$φ(t): [0,1] ---> ℝ^3; t---> φ(t);  φ(t)=(t*x1,t*y1,0) $$

Linienintegral:

$$\int E(x,y) ds=\int E(x,y) \frac { dφ(t)}{ dt }*dt=\int E(x,y)*(x1,y1,0)  dt$$

 Grenzen einsetzten (also t von 0 bis 1), Parametrisierung einsetzten:

$$ \int_{0}^{1} (6t^2(x1)(y1),3*t^2((x1)^2-(y1)^2),0)*(x1,y1,0)  dt=\int_{0}^{1} 6t^2(x1)^2(y1)+3t^2*(y1)* ((x1)^2-(y1)^2)dt=6(x1)^2(y1)+3*(y1)* ((x1)^2-(y1)^2)=3*(x1)^2(y1)-3*(y1)^3$$

Eine weitere Möglichkeit wäre das Potential von E zu bestimmen, das ist hier weniger Arbeit , aber man kommt auf das selbe Ergebnis.

Comments

Danke das hat mir geholfen. Nur noch eine Frage:

Wie kommst du auf die Grenzen 0,1 oder kann ich die beliebig wählen weil keine angeben sind?

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Die Grenzen sind die Intervallenden der Parametrisierung, also t läuft von 0 bis 1. Das haben wir am Anfang so gewählt , damit wir alle Punkt auf der Gerade erreichen.

Answer 2

Du wirst doch wohl eine Strecke parametrisieren koennen? Die Strecke von \((0,0,0)\) bis \((x_1,0,0)\) liegt auf der Geraden durch diese zwei Punkte. Schon in der Schule (Analytische Geometrie) lernt man, dass diese Gerade (die x-Achse) durch $$(x,y,z)=(t,0,0)\quad\text{mit $t\in\mathbb{R}$}$$ parametrisiert wird. Auf welche \(t\) wird man sich wohl beschraenken muessen, wenn da bloss Punkte mit \(0\le x\le x_1\) rauskommen sollen?

Comments

Nein leider weiß ich nicht mehr wie das geht. Kannst du es mir vielleicht an dem Beispiel zeigen?