Zeigen Sie, f ist injektiv: f: (1, -1) -> R mit x -> x/(1-x^2)

Question

f: (1, -1) -> R mit x -> x/(1-x²) injektiv?

Die Surjektivität habe ich bereits gezeigt. Bei der Injektivität bin ich so vorgegangen:

f(x) = f(y) <=> x/(1-x²) = y/(1-y²) <=> x*(1-y²) = y*(1-x²) <=> yx² - y + x(1-y²) = 0

Jetzt weiss ich nicht, wie ich auf x = y kommen soll (Bzw. so umforme, um die PQ-Formel anzuwenden?)

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus.

LG MS15

Comments

Zeige mithilfe der Ableitung, dass \(f\) im Definitionsbereich streng monoton steigend ist.

Answer 1

du hast

\( x(1-y^2) = y(1-x^2) \)

und formst um zu

\( x - y = xy^2 - x^2y = -xy(x-y) \).

Der Trick besteht hier im zweiten Gleichheitszeichen. Unter der Annahme \( x \neq y \) teilst du durch \( x-y \) und erhältst

\( 1 = -xy \) bzw. \( x = - \frac{1}{y} \).

Letztere Gleichung ist ein Widerspruch zu \( x, y \in (-1, 1) \). Denn ist \( x \in (-1, 1) \), dann ist \( y \not\in (-1, 1) \), denn aus \( |x| < 1 \) folgt \( |y| > 1 \).

Da die Annahme \( x \neq y \) also zu einem Widerspruch führt, muss folglich gelten \( x = y \), sprich die Abbildung ist injektiv.

Mister

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Die Ableitung von \( f \) ist

\( f' = \left(\frac{x}{1-x^2}\right)' = \frac{1 - x^2 + 2x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{1 + x^2}{(1-x^2)^2}\).

Der Nenner dieses Ausdrucks ist wegen der Quadrierung immer positiv. Ebenso ist der Zähler immer positiv.

Somit ist der gesamte Bruch, sprich die Ableitung von \( f \), immer positiv.

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Sprichst du vom Zähler oder vom Nenner oder von beidem im gegebenen Intervall? 

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Sowohl Zähler als auch Nenner sind positiv, nicht nur im gegebenen Intervall, sondern auf dem gesamten möglichen Definitionsbereich dieses Ausdrucks für die erste Ableitung von \( f \).

Answer 2

> f: (1, -1) -> R mit x -> x/(1-x²) injektiv? 

f ':  ] -1;1[ → ℝ  mit f '(x) = (x² + 1) / (x² - 1)²  > 0 für alle x∈D  

→ f ist streng monoton steigend und damit injektiv

Gruß Wolfgang 

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@Mister:

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

 Dein "Gegenbeispiel"  ist nur deswegen nicht injektiv, weil deine Funktion keineswegs streng monoton steigend ist.

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Ich habe meinen Kommentar voreilig gelöscht, obwohl er berechtigt war:

Die Funktion sei \( g(x) = \frac{x^2 - 1}{x} \). Die Ableitung dieser Funktion ist größer als Null auf ihrem größtmöglichen Definitionsbereich \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \).

\( g \) ist zweifellos nicht injektiv, obwohl die Ableitung keine Vorzeichenwechsel hat.

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@Mister:

1) empfinde ich es als Unverschämtheit, einen als fehlerhaft kommentierten kritischen Kommentar einfach zu löschen.

Englische Gentlemen räumen Fehler einfach ein.

 2) war dein Kommentar nicht berechtigt, denn da von mir ein Intervall als Definitionsbereich angegeben war, ist meine Antwort zweifellos richtig.

Und dein neuer Kommentar hat mit dem alten wenig zu tun.Du hast in letzterem schlicht und einfach ein falsches Gegenbeispiel angegeben.

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Ich glaube auf die Funktion g(x) darf man den Satz nicht anwenden, weil ℝ ohne 0 kein zusammenhängendes Gebiet ist.

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Genau so ist es. Deine Funktion hat als Definitionsbereich ein Intervall.

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Vielen Dank Wolfgang für das zusätzliche Wissen :-)

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Das jetzige, oben sichtbare Gegenbeispiel entspricht dem, was ich ursprünglich gemeint hatte:

Aus der Positivität einer Ableitung auf einem gegebenen Definitionsbereich folgt noch nicht die strenge Monotonie der Funktion.

Für diese ist, wie Sie bemerkt haben, eine weitere Voraussetzung nötig.

Ich muss aber noch anmerken, dass \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) kein Intervall ist.

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Eben, aber in der Aufgabe ist es ein Intervall !

 > Aus der Positivität einer Ableitung auf einem gegebenen Definitionsbereich folgt noch nicht die strenge Monotonie der Funktion.

Das ist mir durchaus bekannt und ich musste es nicht erst bemerken. Aber mindestens genauso bekannt ist, dass dies anders ist, wenn die Definitionsmenge ein Intervall ist. 

> Ich muss aber noch anmerken, dass ℝ \ {0} kein Intervall ist.

Eben, und deshalb ist dein Beispiel im diskutierten Zusammenhang völlig überflüssig, es sei denn, du wolltest in deinem leider gelöschten ersten Kommentar einfach eine Zusatzinformation beisteuern.

Dann hättest du das so formulieren sollen, ohne mit deinem völlig verfehlten "Gegenbeispiel" den  Eindruck zu erwecken, dass an meiner Antwort etwas falsch ist. 

Um das für andere Leser nachvollziehbar zu machen: Du hast dort behauptet, deine später wieder verwendete Funktion g sei streng monoton steigend aber nicht injektiv.

So etwas kann einem durchaus passieren, aber dann sollte man es einräumen und nicht ständig weiter nerven.

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Mein Beispiel zeigt, dass Ihre Antwort unvollständig ist. Wenn Sie alles implizit formulieren wollen, dann können Sie auch die Positivität der Ableitung unerwähnt lassen.

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>  dann können Sie auch die Positivität der Ableitung unerwähnt lassen.  Das ist ja das unsinnige an Ihren späteren Ausführungen, dass ich nichts, aber auch wirklich überhaupt nichts unerwähnt gelassen habe, was in irgendeiner Form wesentlich für die Lösung der Aufgabe ist.:

f ':  ] -1;1[ → ℝ  mit f '(x) = (x² + 1) / (x² - 1)²  > 0 für alle x∈D  

→ f ist streng monoton steigend und damit injektiv 

Und deshalb zeigt Ihr Beispiel überhaupt nichts. Ich habe langsam den Eindruck, dass Sie hier ständig weiter posten, damit vor lauter Text niemand mehr den Ausgangspunkt der Diskussion wahrnimmt. Deshalb werde ich das wiederholen, so oft es sein muss:Sie haben in Ihrem von Ihnen - zeitlich weit nach meinem Antwortkommentar - gelöschten Erstkommentar behauptet: 
Die Funktion g: ℝ \ {0} → ℝ  mit g(x) = (x² -1) / x  ist streng monoton steigend aber nicht injektiv  und damit den Eindruck erweckt, meine Antwort sei falsch. Bis jetzt haben Sie es nicht einmal für notwendig gehalten, das richtigzustellen.

Answer 3

   Mister und Lu denken beide wieder mal um sieben Ecken ( Demnach denken sie um 14 Ecken )


   Deine Funktion besitzt ungerade Symmetrie ; daraus folgt ihre Treue.

   ( Hier nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Es heißt nicht injektiv, sondern treu. )

Comments

In welchem Jahrhundert muss man da gelebt haben, um das zu wissen? :)

(Meinst du vielleicht Funktoren,  https://de.wikipedia.org/wiki/Treuer_Funktor ? Funktionen sind jedenfalls keine Funktoren.)

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Jedes f(x) ist treu zu seinem x :D,bedeutet injektiv.

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Das macht sogar Sinn. :)

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Die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x \) besitzt doch auch ungerade Symmetrie, oder? Sie ist aber leider nicht treu.