Wahrscheinlichkeit, Reihenfolge beachten, nicht Zurücklegen, Urne, ...

Question

Eine Urne enthält 5 Kugeln mit den Bezeichnern A;B;C;D;E

Die Kugeln werden nacheinander gezogen und entsprechend der Zugfolge hingelegt.

Es gibt 5! = 120 Möglichkeiten, die 5 Kugeln anzuordnen.

Wieviel Möglichkeiten gibt es, dass GENAU EINE Kugel die richtige Position im Alphabet einnimmt, alle  anderen jedoch an einer falschen Position liegen?

Bsp: x;x;C;x;x   oder  x;B;x;x;x  oder  x;x;x;D;x

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Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass GENAU ZWEI Kugeln die richtige Position im Alphabet einnehmen, alle  anderen jedoch an einer falschen Position liegen?

Bsp: x;x;C;D;x   oder  x;B;C;x;x  oder  A;x;x;D;x oder  A;x;x;x;E

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Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass GENAU DREI Kugeln die richtige Position im Alphabet einnehmen, alle  anderen jedoch an einer falschen Position liegen?

Bsp: A;x;C;D;x   oder  x;B;C;x;E  oder  A;B;x;D;x oder  A;B;x;x;E

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Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass GENAU VIER Kugeln die richtige Position im Alphabet einnehmen, alle  anderen jedoch an einer falschen Position liegen?

Bsp: A;x;C;D;E   oder  A;B;C;x;E  oder  A;B;x;D;E oder  A;B;C;D;x

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Wieviel Möglichkeiten gibt es, dass GENAU FÜNF Kugeln die richtige Position im Alphabet einnehmen, alle  anderen jedoch an einer falschen Position liegen?

Bsp: A;B;C;D;E 

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Mit welcher Formel kann der Zusammenhang   für N Kugeln, von denen genau P an der richtigen Position liegen, verallgemeinert dargestellt werden ?

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Würde das Wahrscheinlichkeitsergebnis beeinflusst , wenn während der Durchführung der Versuchsreihe die als korrekt verlangte Reihenfolge willkürlich spontan geändert wird ?

Answer 1

Mit welcher Formel kann der Zusammenhang   für N Kugeln, von denen genau P an der richtigen Position liegen, verallgemeinert dargestellt werden ?

$$A(N,P) = \binom{N}{P} \cdot (N-P)! \cdot \sum_{k=0}^{N-P} \frac{(-1)^k}{k!}$$

Gruß

Comments

$${N\choose P}  =   \frac {N!}{(N-P)! \quad \cdot  P!}$$

multipliziert man diesen Faktor mit dem folgenden aus Deiner Lösung, nämlich $$(N-P)! $$

ergibt sich das Produkt

$${N\choose P} \cdot  (N-P)! =   \frac {N!}{(N-P)! \quad \cdot  P!} \cdot  (N-P)!  =  \frac {N!}{P!} $$

Ist das denn bis dahin so gewollt ?

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Man kann es natürlich so vereinfachen, dabei wird aber m. E. nach die Herkunft der Formel verzerrt.

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Ahhhja!

Spannend - durch die alternierende Reihe als letzten Faktor wird sogar die etwas unsinnige Frage nach 4 von 5 Richtigen durch einen Nullfaktor geheilt.

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Ja. Vielleicht mal zur Erklärung:

Es gibt \( \binom{N}{P} \) Möglichkeiten der Wahl der \(P\) richtig positionierten Elemente.

Dies wird multipliziert mit der Anzahl der sogenannten Derangements (also der fixpunktfreien Permutationen) der restlichen \(N-P\) Elemente.