Nullstellenbestimmung bei einer ganzrationalen Funktion f(x) = 1/4 (x^4 -x^2)

Question

Ich soll die Nullstellen der Funktion f:x -> 1/4 (x⁴ -x²) bestimmen. Ich weiß, dass die Nullstellen x1=0, x2=1 und x3=-1 sind, jedoch nicht wie ich darauf kommen soll.

Mein Ansatz ist:

f:x -> 1/4 (x⁴ -x²) auskalmmern.

x⁴ -x² = 0

und dann auf z umstellen.

z=x2

z2= x4

Danach die pq-Formel anwenden. Jedoch kommt bei mir da nicht 1 und -1 raus, sondern 0 und -1. Die Polynomdivision kann ich auch nicht anwenden. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

f(x) = 1/4 * (x⁴ -x²)       | Ausklammern

= 1/4 * x^2 ( x^2 - 1)         | 3. binomisce Formel

= 1/4 * x^2 (x-1)(x+1)

Nullstellen ablesen

x1 = 0        | Doppelte Nullstelle: Graph berührt die x-Achse

x2 = 1       | Einfache Nullstelle: Graph überquert die x-Achse

x3 = -1      | Einfache Nullstelle: Graph überquert die x-Achse

Answer 2

1/4 (x⁴ -x²) = 0

x² ausklammern:

⇔ 1/4 • x² • (x² -1) = 0 

 binomische Formel anwenden

⇔ 1/4 • x² • (x -1) • (x+1) = 0

Nullproduktsatz:  (Produkt = 0 ⇔ mindestens ein Faktor = 0)

x₁ = 0 (doppelt) , x₂ = 1 , x₃ = -1

Gruß Wolfgang

Answer 3

x⁴ -x² = 0

x^2( x^2-1)=0

Satz vom Nullprodukt:

x1,2=0

x^2-1=0

x^2=1

x3.4=± 1