wie kann ich die schnittpunkte dieser Funktonen berechnen

Question

wie rechne ich die Schnittpunkte dieser e funktionen

f(x)= e^x und g (x) = 3* e^-x

und dieser Funktionen

f(x)= e^x und g(x) = 4-x

Comments

also sowas suchst du:

 

Answer 1

f(x)= e^x und g (x) = 3* e^-x , gesucht Schnittstellen:

e^x = 3 • e^-x    | • e^x            [ e^-x • e^x = e^-x+x = e⁰ = 1 ]

e^2x = 3  | ln anwenden   [ ln(a^r) = r • ln(a) , ln(e^A) = A ]

2x = ln(3)

x = ln(3) / 2 ≈ 0,5493

----------

e^x = 4 - x     kann man nicht explizit nach x auflösen.

Diese Gleichung löst man deshalb mit einem Näherungsverfahren, z.B. dem

Newtonverfahren:

Hierzu berechnest du die Nullstellen der Funktion  f(x) = e^x +x - 4 = 0

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben( ein Plotter ist für das Auffinden eines Startwerts natürlich besonders nützlich :-)), findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

mit dem Startwert x_alt  = 1 findest du die Lösung  x = 1,073728937, du kannst natürlich auch nach weniger Kommastellen aufhören :-)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

 Gruß Wolfgang

Answer 2

f(x)= e^x und g (x) = 3* e^-x

Es gibt verschiedene Lösungswege

e^x = 3 * e^{-x}  | * e^x
e^{x+x} = 3 * e^{-x+x}
e^{2x} = 3 * e^0
e^{2x} = 3   | ln
2x = ln(3);
x = ln(3) / 2

und dieser Funktionen
f(x)= e^x und g(x) = 4-x

~plot~ e^x ; 4 - x ~plot~

Hier gibt es keine algebraische Lösung.
Berechnung z.B. durch das Newton-Verfahren.

Answer 3

Aufgabe 1:

 

Answer 4

f(x)= e^x und g (x) = 3* e^-x  Gleichsetzen und mit e^x auf beiden Seiten multiplizieren ergibt e^2x=3 oder 2x =ln3 und schließlich x= (ln2)/3

f(x)= e^x und g(x) = 4-x. Keine Standardmethode möglich. Eine Größenordnung der Lösung liefert der GTR.

Answer 5

f(x)= e^x und g(x) = 4-x

Für Spezialisten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x-4%2Bx%3D0