Integral von (x·√x) / (1+x) berechnen

Question

Berechnen Sie das Integral

\( \int \limits_{0}^{3} \frac{x \sqrt{x}}{1+x} d x \)

Answer 1

Hi,

Substituiere: u=√x -> du=1/(2√x) dx

 

-> 2 ∫ u^4/(1+u^2) du

 

Der Zählergrad ist größer als der Nennergrad. Wollen aber weiters zerlegen -> Polynomdivision:

= 2 ∫ -1+u^2+1/(1+u^2) du

Summandenweise integrieren:

= -2 [u] + 2 [u^3/3] +2 [arctan(u)]

 

Nun nur noch resubstituieren und die Grenzen einsetzen:

-2 [√x]+2 [√x*x/3]+2 [arctan(√x)]

in den Grenzen 0-3:

2π/3≈2,094

 

Grüße