In welcher Entfernung von A muss das Gebäude M errichtet werden? Verwenden Sie die Lagrange-Methode.

Question

ich habe ein Problem bei der Lösung dieser Aufgabe:

Zwischen zwei Orten A und B, die 1000m voneinander entfernt sind, soll ein Gebäude M errichtet werden, so dass zwischen A und M eine Wasserleitung und zwischen M und B eine Elektroleitung verlegt werden kann. Die Kosten für die Verlegung betragen:

• für x Meter Wasserleitung 150x² + 500x Geldeinheiten,

• für y Meter Elektroleitung 50y² + 100y Geldeinheiten.

Das Gebäude M soll so zwischen A und B errichtet werden, dass die Kosten für die Verlegung der Leitungen minimal werden.

In welcher Entfernung von A muss das Gebäude M errichtet werden? Benutzen Sie zur Berechnung die Lagrange-Methode. Der Nachweis des Minimums muss nicht erbracht werden,

Die Lagrange-Funktion die ich aufgestellt habe lautet: 150x²+500x+50y² + lambda *(1000-x-y)

Jedoch erhalte ich nicht die Lösung von x=249 und y=751

Ich denke meine Lagrange Funktion ist eventuell falsch aufgestellt :/

Ich hoffe man kann mir helfen.

Answer 1

L(x,y,λ) = 150x²+500x+50y² + 100y + lambda *(1000-x-y)

partielle Ableitungen = 0 setzen:

300·x - λ + 500 = 0  und  100·y - λ + 100 = 0   und   -x - y + 1000 = 0

Gleichungssystem lösen

→    x = 249  und  y = 751  und  λ  = 75200

Gruß Wolfgang

Comments

Oh, die +100y habe ich leider nur vergessen abzutippen.

Komme leider mit der +100y auch nicht auf das richtige Ergebnis :/