Abstand Punkt von der ebene und parameter a gesucht

Question

könnte sich bitte jeamnd meine ergebnisse anschauen:)

1. Zu welcher der Ebene E1, E2 hat der Punkt P(5/5/7) den kleineren Abstand?

E1: 3x+2y-4z=12    E2: x= 1/3/-2 + r*(2/1/-2) + s* (3/4/1)

Dafür habe ich E1und E2 in eine Normalengleichung umgeandelt, da es so leichter ist mit der Hessischen Normalform den Abstand zu berechnen.

N1= ( (5/5/7) - (4/2/1) ) * (3/√29;   2/√29 ; -4√29) = -2,78

N2= ( (5/5/7) - (1/3/-2) ) * (9/√170;  -8/√170;  5/√170) = 4,99

E1 ist näher an dem Punkt P.

2. Für welchen Wert von a hat der Punkt P_a (a/3/1) den Abstand 6 von der Ebene E: ( x - (2/1/0) )  * (2/-1/2)=0 ?

Hier habe ich weider mit der hessischen Normalform gearbeitet.

(a-2 / 2/1) * (1,5 / -3/ 1,5) = 6

a=9

Stimmt das?

Danke

Answer 1

Abstand von Ebene E1

d = (3·x + 2·y - 4·z - 12) / √(3^2 + 2^2 + 4^2)

d = (3·5 + 2·5 - 4·7 - 12) / √(3^2 + 2^2 + 4^2) = -2.785430072

E2: X = [1, 3, -2] + r·[2, 1, -2] + s·[3, 4, 1]

N = [2, 1, -2] ⨯ [3, 4, 1] = [9, -8, 5]

E2: X * [9, -8, 5] = [1, 3, -2] * [9, -8, 5]

E2: 9x - 8y + 5z = - 25

d = (9·x - 8·y + 5·z + 25)/√(9^2 + 8^2 + 5^2)

d = (9·5 - 8·5 + 5·7 + 25)/√(9^2 + 8^2 + 5^2) = 4.985272427

E1 ist dichter. Das klingt gut

Comments

d = ABS(([a, 3, 1] - [2, 1, 0])·[2, -1, 2]) / ABS([2, -1, 2]) = 6 --> a = 11 ∨ a = -7

Die Lösung solltest du nochmal prüfen. Ich komme hier auf etwas anderes.