F: z = x^2 + y^2 + 3
E: 6·x + 3·y - 2·z = 6
Oh das ist wirklich eine spannende Aufgabe. Sowas hab ich auch noch nie gemacht. Erstmal sollte klar sein, dass unsere Ebene eine Flache Ebene im Raum ist. Die Fläche die du gegeben hast dürfte eine krumme nicht endliche Fläche haben.
Wenn wir mal die Ebene in die Abstandsform bringen erhalten wir
d = (6·x + 3·y - 2·z - 6)/√(6^2 + 3^2 + 2^2) = (6·x + 3·y - 2·z - 6)/7
Mir bleibt ja jetzt fast nichts anderes übrig als für das z mal die Flächengleichung einzusetzen.
d = (6·x + 3·y - 2·(x^2 + y^2 + 3) - 6)/7 = - (2·x^2 - 6·x + 2·y^2 - 3·y + 12)/7
Das soll jetzt für ein (x, y) minimal werden. Also bilde ich die beiden partiellen ableitungen die ich dann 0 setze.
d/(dx) = 6/7 - 4·x/7 = 0
x = 3/2 = 1.5
d/(dy) = 3/7 - 4·y/7 = 0
y = 3/4 = 0.75
z = x^2 + y^2 + 3 = (3/2)^2 + (3/4)^2 + 3 = 93/16 = 5.8125
[3/2, 3/4, 93/16]
Ich werde mal versuchen das zu skizzieren:
Man sollte die Ebene, die gewölbte Fläche und den blau skizzierten Punkt erkennen können:
