Geben Sie eine geeignete Summenformel an, die den Gesamtbestand nach 15 Jahren beschreibt

Question

Eine in der Region ausgestorbene Tierart soll wieder angesiedelt werden. Es werden 10 Tiere ausgewildert. Da keine natürlichen Feinde vorhanden sind, kann von einer jährlichen Wachstumsrate des Bestands von 8% ausgegangen werden. (Vernachlässigen Sie bei den Rechnungen,dass ein Tierbestand immer ganzzahlig ist.)

(a) Wie groß ist der Bestand (aufgerundet) nach 10 Jahren?

10 * 1.08¹⁰ = 21.58 = 22 Tiere

(b) Bei welcher jährlichen Wachstumsrate wäre der Bestand nach 20 Jahren auf 80 Tiere
angewachsen?

80 = 10 * x²⁰ | : 10
8 = x²⁰ | ²⁰√
x = 1.11 = 11%

(c) Angenommen, es wandern zusätzlich ab dem zweiten Jahr jeweils zum Jahresbeginn 10 Tiere derselben Tierart aus einer benachbarten Region ein. Geben Sie eine geeignete Summenformel an, die den Gesamtbestand nach 15 Jahren beschreibt. (Ohne weitere Berechnung!)

10 * 1.08 * ∑ (k = 1 bis 15) 10 * 1.08^k

Hierbei bin ich mir nicht sicher und würde mich über Hilfe freuen.

10 * 1.08 vor der Summe soll für das Wachstum der 10 Tiere vom Anfang gelten, anschließend die zugewanderten von Jahr 2 - 15..

Wie immer !

Gruß
nino

Answer 1

Ich würde es etwas anders sehen:

1. Jahr : 10

2. Jahr 10*1,08 + 10

Die rote 10 sind die zugewanderten

aber weil dort steht: " kann von einer jährlichen Wachstumsrate

des Bestands von 8% ausgegangen werden" vermehren sich die zugewanderten auch,

sieht also am Ende vom 3. Jahr so aus:

3. Jahr:    (10*1,08 + 10 )*1,08 + 10

              =10*1,08^2 + 10*1,08^1 + 10*1,08^0

4. Jahr:    ( (10*1,08 + 10 )*1,08 + 10) *1,08 + 10 

                 = 10*1,08^3 + =10*1,08^2 + 10*1,08^1 + 10*1,08^0

also nach 15 Jahren: 
∑ (k = 0 bis 14) 10 * 1.08^k

 

Comments

Sieht logisch und nachvollziehbar aus