Berechne x: 3x+7=12x-29 und die Wurzelgleichung √(x-6) + √(9-x)=√3

Question

1. Berechne x: 3x+7=12x-29

2. Berechne q: Kq-R (q-1)/i=0

3. Berechne die Linie P1(3;1) und P2(5;-3)

4. Berechne x: √(x-6) + √(9-x)=√3

Answer 1

1. Berechne x: 3x+7=12x-29 | -12x - 7

-9x = -36 | :(-9)

x = 4

 

2. Berechne q: Kq - R(q-1)/i = 0 | ausmultiplizieren

Kq - R/i*q + R/i = 0 | ausklammern und - R/i

q(K - R/i) = -R/i | :(K - R/i)

q = -R/(i * (K - R/i)) = R/(R - iK)

 

3. Berechne die Linie P1(3;1) und P2(5;-3)

m = (y1 - y2)/(x1 - x2) = (1 - (-3))/(3 - 5) = 4/-2 = -2

y = m * (x - Px) + Py = -2 * (x - 3) + 1 = -2x + 7

 

4. Berechne x: √(x-6) + √(9-x)=√3 | quadrieren

(√(9 - x) + √(x - 6))^2 = 3

2·√(9 - x)·√(x - 6) + 3 = 3 | -3

 

2·√(9 - x)·√(x - 6) = 0 | quadrieren

4·(6 - x)·(x - 9) = 0

x1 = 6

x2 = 9

 

Answer 2

1.) 3x+7 = 12x - 29 |-3x

7 = 9x - 29 | +29

36 = 9x |:9

x = 4

 

2.) Kq-R(q-1)/i = 0 |*i

iKq - Rq + R = 0  |-R, q ausklammern

q(iK-R) = -R  |:(iK-R)

q = R/(R-iK)

 

3.) Hier weiß ich nicht ganz was gemeint ist. Die Länge der Linie? Die berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras:

s² = (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²

s² = (3-5)² + (1-(-3))²

s² = 4 + 16 = 20

s = √20

Oder die Funktion durch beide Punkte?
Die lässt sich aus dem folgenden Gleichungssystem bestimmen:

f(3)=1: 1 = m*3+n

f(5)=-3: -3 = m*5 + n

Zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, so ergibt sich:

2m = -4

m = -2

Eingesetzt in eine der Gleichungen ergibt sich: n = 7

f(x) = -2x + 7

4.) Hier muss die Gleichung zunächst durch mehrfaches Quadrieren auf eine Form ohne Wurzeln gebracht werden. Danach müssen die gefundenen Lösungen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist und möglicherweise zusätzliche Lösungen entstehen.

Einmal Quadrieren gibt mit binomischer Formel auf der linken Seite:

(x-6) + 2*√(x-6)*√(9-x) + (9-x) = 3 | -(x-6)-(9-x)

2*√(x-6)*√(9-x) = 0

Hier sind die Lösungen bereits ablesbar:

Das Produkt wird nur dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 wird, also muss eine der beiden Gleichungen erfüllt sein:

x = 6

oder

x = 9

 

Setzt man die beiden Lösungen in die Ausgangsgleichung ein, so erkennt man, dass beide die Gleichung lösen.

Die Lösungsmenge lautet also L = {6, 9}