Steckbriefaufgabe. Wie rechne ich weiter? (Ganzrationale Funktion)

Question

Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graph durch A(-2I2), B(0I2), C(2I2) geht und die X Achse berührt.

Bedingungen I: -8a+4b-2c=0

II: 8a+4b+2c=0

III: f'(x)=3ax^2+2bx+c=0

Wie mache ich jetzt weiter? d=2 habe ich direkt in die Bedingungen eingesetzt

Answer 1

Die Punkte A , B und C haben alle den gleichen y-Wert. Sie liegen symmetrisch zu B. 

Da Polynome 3. Grades symmetrisch zu ihrem Wendepunkt sind, muss B der Wendepunkt sein.

Nun zu deiner angefangenen Rechnung:

Rechne I + II.

==> 8b = 0  ==> b = 0.

In II einsetzen ==> 8a + 2c = 0 ==> c = -4a

III: f'(x)=3ax²+2bx+c=0

vereinfacht sich zu:

III: f'(x)=3ax²-4a =0

a(3x^2 - 4) = 0

==> 3x^2 = 4

x^2 = 4/3

x = ± 2/ √3 

usw.

Answer 2

I + II ergibt   b=0

also f ' (x) =  3ax^2 +c=0

                           3a * x^2 = -c

                                    x^2 = - c / 3a    geht nur , wenn  -c / 3a ≥ 0 ist.