Grenzwert von Polynomen bestimmen

Question

Wie bestimmt man den Grenzwert von Polynomen in allgemeiner Form?
lim x->0 p(x)/q(x) [p(x)=anx^n+...+a1x+a0, q(x)=bmx^n+...+b1x+b0]
Ich hoffe jemand kann mir helfen :)

Answer 1

\[ \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{a_jx^j}{b_kx^k} \]

wobei j bzw. k die kleinste Zahl aus \( \mathbb{N} \)  ist, für die gilt \( a_j \neq 0 \) bzw. \(b_k \neq 0\)

\[ j<k \qquad \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \infty \]

\[ j=k \qquad \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_j}{b_k} \]

\[ j>k \qquad \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = 0 \]

Das kann man dadurch erklären, dass wenn x gegen 0 geht, die höhere Potenz schneller gegen 0 geht.

Das ist analog zu dem Grenzwert bei \(\pm \infty \) wo nur die größten j und k mit der gleichen Bedingung verglichen werden.

Gruß

Comments

Ah danke echt nett von dir :)

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Hallo snoop, bei deinem ersten Fall gibt es aber noch mehrere Möglichkeiten.

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Hallo Yakzu,

dann kläre mich bzw. den Fragesteller schnell auf, nicht dass er/sie etwas falsches mitnimmt. Das meine ich ernst, denn ich sehe den Fehler leider nicht.

Ich sehe nur, dass bei \( j\neq k \) sich oben unter unten das \( x \) wegkürzt und damit die Richtung vorgegeben ist. Man kann ja die ganze Gleichung so lange mit \( x \) kürzen bis mindestens ein Vorfaktor ohne \(x \) übrig bleibt. Der Rest ergibt sich dann.

Gruß

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Das mit den mehreren Möglichkeiten war eher darauf bezogen, dass der Grenzwert nicht unbedingt (plus) unendlich sein muss im ersten Fall :). Es ist schon abhängig von den Vorzeichen von \(a_j\) und \(b_k\). Außerdem muss man eigentlich auch, falls \(k-j\) ungerade ist vor allem zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert unterscheiden.

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Ich mache noch eine Korrektur fertig.

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\( \)

hier die Korrektur. Bitte noch einmal kontrollieren Yakyu.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{a_j x^j}{b_k x^k} \]

dabei sind  \( j \) und \( k \) die kleinsten Zahlen aus \( \mathbb{N} \) für die gilt \(a_j \neq 0 \) und \( b_k \neq 0 \)

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a_j x^j}{b_k x^k} = \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \to 0} x^{j-k} \]

Yakyu hatte meinen Fehler korrigiert, dass man für \( j \neq k \) noch die Grenzwerte von links und rechts berechnen muss, da sie unterschiedlich sein können.

Ist \( j-k = 0 \) , dann gilt

\[ \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \uparrow 0} x^{j-k} =\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{j-k}=\frac{a_j}{b_k} \]

Ist \( j-k \neq 0 \) gerade, dann gilt

\[ \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \uparrow 0} x^{j-k} =\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{j-k}=\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \to 0} x^{\pm 2}= \frac{a_j}{b_k} \infty^{\mp 1} \]

Ist \( j-k \neq 0 \) ungerade, dann gilt

\[ -\frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \uparrow 0} x^{j-k} = \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{j-k} = \frac{a_j}{b_k} \cdot \lim_{x \downarrow 0} x^{\pm 1}=\frac{a_j}{b_k} \infty^{\mp 1}\]

Gruß