Grenzwert mit Summenzeichen berechnen : lim (x^10 - 10^10) Σ_(i=1)^N (x+i)^10

Question

lim (x^10 - 10^10) Σ_(i=1)^N (x+i)^10

Kann da jemand helfen?

Vielleicht die ersten Schritte.

Ich weiß nicht wie man mit diesem Summenzeichen in diesem Fall umgeht.

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Titel: Grenzwert mit Summenzeichen berechnen : lim (x^10 - 10^10) Σ_(i=1)^N (x+i)^10

Stichworte: grenzwertberechnung,summenzeichen

Kann jemand helfen.

Ich blick da gar nicht durch

Answer 1

Du musst (x + i)¹⁰ mit Hilfe der binomischen Formel in Summanden zerlegen.

$$ { \left( x+i \right)  }^{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ \begin{pmatrix} 10 \\ n \end{pmatrix}{ x }^{ n }{ i }^{ 10-n } } $$

$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { \left( { x }^{ 10 }-{ 10 }^{ 10 } \right)  }^{ -1 }\sum _{ i=1 }^{ N }{ { \left( x+i \right)  }^{ 10 } }  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \sum _{ i=1 }^{ N }{ \sum _{ n=0 }^{ 10 }{ \begin{pmatrix} 10 \\ n \end{pmatrix}\frac { { x }^{ n }{ i }^{ 10-n } }{ { x }^{ 10 }-{ 10 }^{ 10 } }  }  }  } $$

$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { \left( { x }^{ 10 }-{ 10 }^{ 10 } \right)  }^{ -1 }\sum _{ i=1 }^{ N }{ { \left( x+i \right)  }^{ 10 } }  } =\sum _{ i=1 }^{ N }{ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \sum _{ n=0 }^{ 10 }{ \begin{pmatrix} 10 \\ n \end{pmatrix}\frac { \frac { { x }^{ n } }{ { x }^{ 10 } } { i }^{ 10-n } }{ 1-\frac { { 10 }^{ 10 } }{ { x }^{ 10 } }  }  }  }  } $$

Beim Grenzübergang x → ∞ bleibt nur der Summand für n = 10 übrig, alle anderen Summanden gehen gegen Null.

$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { \left( { x }^{ 10 }-{ 10 }^{ 10 } \right)  }^{ -1 }\sum _{ i=1 }^{ N }{ { \left( x+i \right)  }^{ 10 } }  } =\sum _{ i=1 }^{ N }{ { i }^{ 10-10 } } =\sum _{ i=1 }^{ N }{ 1 } $$

$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { \left( { x }^{ 10 }-{ 10 }^{ 10 } \right)  }^{ -1 }\sum _{ i=1 }^{ N }{ { \left( x+i \right)  }^{ 10 } }  } = N $$