Wenn du ein Integral von einem Produkt hast, bei dem die Integrationsgrenzen auch noch von -a bis a gehen, gibt es eine Sache, die du immer erst prüfen musst! Es gilt nämlich: Das Produkt aus 2 ungeraden Funktionen ist gerade, so wie das Produkt aus 2 geraden Funktionen auch gerade ist. Mischt man gerade und ungerade, so wird die Funktion immer ungerade. bei ungeraden Funktionen ist nämlich das bestimmte Integral von -a bis a immer 0, da sich links und rechts direkt aufheben. Hier geht es leider nicht, da unsere Funktion gerade ist, jedoch gibt es auch hier eine Vereinfachung: was von -a bis 0 gilt, muss auch von 0 bis a gelten! Somit muss man das Integral nur *2 rechnen und kann die untere Integrantionsgrenze =0 setzen, wodurch meistens am Ende etwas Arbeit wegfällt.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Erstmal substituiere ich, so wie du
u := kπx
du/dx = kπ
dx = du/kπ
dann setze ich ein (die Grenzen schreibe ich erstmal nicht hin, sollten sie formal aber)
∫ f(u) du/kπ = 1/kπ ∫ sin( u ) sin ( k'/k u ) du
z := ∫ sin( u ) sin ( k'/k u ) du
Ich werde ein paar Dinge mit Buchstaben abkürzen, damit der Schreibaufwand einfacher wird. EInfach später alles einsetzen, wenn man es explizit ausrechnet.
Dann kann man, leicht, aber leider mit Schreibaufwand, die Produktregel anwenden
1/kπ z = [ -cos( u ) sin ( k'/k u ) ] -∫ -cos( u ) k'/k cos( k'/k u ) du
A := [ -cos( u ) sin ( k'/k u ) ]
z = A + ∫ cos( u ) k'/k cos( k'/k u ) du
Sieht doch schonmal ähnlich, wie unser Anfangsproblem aus, woran liegt das? Sinus und Cosinus sind periodisch bei der Integration und der Ableitung, sprich, wenn wir den Vorgang oft genug wiederholen, kommen wir auf unser erstes Integral, wenn die Terme nicht zu komplex sind.
Also erneut die Produktregel
1/kπ z = A + k'/k [ sin( u ) cos( k'/k u ) ] -∫ sin( u ) k'/k * -cos( k'/k u ) du
B := [ sin( u ) cos( k'/k u ) ]
1/kπ z = A + k'/k B + k'k ∫ sin( u ) cos( k'/k u ) du
Wir können hier wieder unser z erkennen, also schreiben wir es doch hin!
1/kπ z = A + k'/k B + k'/k z
Sehr schön, alle Integrale sind nun "verschwunden", also bringen wir die z Terme auf eine Seite und lösen danach auf, schließlich wollen wir ja den Wert von z unserem Ausgangsintegral haben
( 1/kπ - k'/k ) z = A + k'/k B
z = ( A + k'/k B ) / ( 1/kπ - k'/k )
Sehr schön, nun musst du für A und B nur noch deine Grenzen einsetzen, also F(b) - F(a) jeweils und damit weiter rechnen, jedoch beachte, dass sich unsere Integrationsgrenzen bei der Substitution ändern, also u(x) = kπ x
Somit setzt du für u(x) die alten Grenzen ein und erhältst deine neuen Grenzen.
$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \sin { (k\pi x) } } \sin { (k'\pi x)dx\quad = } \cfrac { A\quad +\quad \cfrac { k' }{ k } B }{ \cfrac { 1 }{ k\pi } -\cfrac { k' }{ k } } $$
$$=\cfrac { \left[ -cos(u)\quad sin(\cfrac { k' }{ k } u) \right] \begin{matrix} k\pi \\ -k\pi \end{matrix}\quad +\quad \cfrac { k' }{ k } \left[ sin(u)\quad cos(\cfrac { k' }{ k } u) \right] \begin{matrix} k\pi \\ -k\pi \end{matrix} }{ \cfrac { 1 }{ k\pi } -\cfrac { k' }{ k } } $$
Und es gibt sicher wieder, wie oft bei solchen Funktionen, ganz viele alternative Möglichkeiten irgendwas zu vereinfachen, aber so hätte ich es gemacht.
