Vollständige Induktion n-mal differenzierbare Funktion

Question

 

 

die Aufgabe muss eine Bekannte von mir rechnen.

Ich konnte ihr leider nicht helfen, aber ihr bestimmt!

 

Beweisen Sie, dass für eine n-mal differenzierbare Funktion f: [a, b] → ℝ mit n + 1 verschiedene Nullstellen

ein ξ ∈ (a, b) existiert mit f⁽ⁿ⁾ (ξ) = 0.

Hinweis: Vollständige Induktion über n ∈ ℕ.

 

 

Comments

Zwischen den n+1 Nullstellen von f müssen, wegen der Differenzierbarkeit in [a, b],
n Extremstellen liegen. Also hat die erste Ableitung von f mindestens n Nullstellen.

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Das ist leider kein richtiger Beweis und deswegen nicht ganz so hilfreich.

Aber danke trotzdem

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Das sollte auch kein Beweis sein, sondern die wesentliche Idee andeuten, wie man zu einem Beweis kommen könnte.

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naja, eigentlich ist es ein richtiger Beweis: Die Funktion ist ja stetig, da sie einmal differnzierbar ist.

MfG

Mister

Answer 1

Das ist ein Folgerung aus dem Satz von Rolle. Dieser Satz ist inklusive Beweise im guten alten Wiki nachzulesen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle


Da f(x) n+1 Nullstellen hat muss eben nach satz von rolle n Extremwerte angenommen werden. Also hat f ' (x) n Nullstellen.

Induktives Vorgehen zeigt die Behauptung.