Komposition f o g = 0

Question

Aufgabe ist: f : V → V , g : V → V 

f, g sind linear; n = dim(V)

Beweisen, dass wenn f o g = 0 ist,  Rg(f) + Rg(g) ≤ n ist

Wollte die Aufgabe nur über die Definition der linearen Abbildungen lösen, ist das möglichh?/

Sodass ich f(e_i) = 0 und g(e_i ) ≠ 0 setze und umgekehrt.

Und zusätzlich den Fall f(e_i) = 0 und g(e_i ) = 0

e_i   ist die Basis von V 

Rg(f) = Ι F Ι 

Ι F Ι = Anzahl der Elemente für die Σ i = 1 --> n f(e_i) ≠ 0

Rg(g) = dim(V) - Rg(f) - Ι FG Ι

Ι FG Ι = Anzahl der Elemente,

 für die Σ i = 1 --> n f(e_i) + g(e_i ) = 0

Rg(f) + Rg(g) ≤ dim (V)

Ι F Ι + ( dim(V) - Ι F Ι - Ι FG Ι ≤ dim(V)

dim(V) - Ι FG Ι ≤ dim(V)  ; 0 ≤ Ι FG Ι ≤ dim(V)

wahre aussage . ??? Kann man das auch so lösen wenn ich nur f , g definiere?

Comments

Sodass ich f(e_i) = 0 und g(e_i ) ≠ 0 setze und umgekehrt.

Und zusätzlich den Fall f(e_i) = 0 und g(e_i ) = 0

Meinst du damit, dass zwingend eine der Abbildungen den Rang 0 hat, oder ist da für jedes i eine andere Kombination (letztlich 3 Fälle) möglich ? 

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Ja ich meine alle Fälle die auftreten können für i und die sind auch alle 3 in den Formeln integriert aber kann man das so machen?

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aber kann man das so machen?

Da bin ich im Moment leider überfragt. 

Deine Argumentation kann ich nun aber gut nachvollziehen. 

Answer 1

Geht auch mit der Dimensionsformel, indem man die in

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/linalg/leit/linear.htm

hergeleitete Dimensionsabschätzung

rg(f)+rg(g) - n ≤ rg( fog)

benutzt. Denn hier ist ja rg( fog) = 0 .

Comments

Wie kommst du auf Rg(f°g) = 0? 

Und auf Rg(f)+rg(g) - n ≤ rg (f°g)?

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Wie kommst du auf Rg(f°g) = 0? 

fog soll doch die Nullabbildung sein, die hat

den Bildraum {0} und der rang ist dessen

Dimension, also = 0

Und auf Rg(f)+rg(g) - n ≤ rg (f°g)?

Hab doch die Quelle angegeben