Vektorrechnung Bücherregal

Question

Ein Bücherregal soll an einer Wand montiert werden. Die Koordinaten der Punkte sind in Zentimeter angegeben:

E(0/120/180), F(0/320/180), G(40/120/180), I(0/120/255)

1) Gib die Koordinaten der Punkte J und H an.

2) Ermittle mithilfe von Vektoren die Länge der Strecke GI und den Winkel, den diese mit der Wand einschließt.

3) Ermittle mithilfe von Vektoren die Koordinaten des Punkts K so, dass die Strecke GK normal auf GI steht.

Danke für eure Antwort

Answer 1

Hi!

Ne Skizze wäre hilfreich gewesen. Hab ich mir jetzt selbst angefertigt.

Also Punkt J= Punkt F + Vektor EI

EI=(0|0|75)

F+EI=     J(0|320|255)

und

Punkt H= Punkt F + Vektor EG

EG=(40|0|0)

F+EG=  H(40|320|180)

2.)

|GI|=√((40-0)²+(120-120)²+(180-255)²) = 85 LE

Vektor GI=(-40|0|75)

Normalenvektor der Wand:(1|0|0)

Ausrechnen mit Winkelformel für Ebene∠Gerade

cos^-1((|1*-40+0*0+0*75|)/(√1² * √(40²+75²)))=alpha= 61,93°

Comments

zu 3.)

Gibts unendlich viele Normalenvektoren.

Ich habe mal die Ebene GIH gebildet mit dem Normalenvektor n=(15|0|8)

Punkt G plus Vektor n=  K(55|120|188)

---

Einfacher :  K = H

---

Klar das geht auch. Mich hat es nur gewundert, denn K kann ja unendlich viele Möglichkeiten haben. Wer stellt denn solch eine Aufgabe?

Answer 2

1)

2) 

|\(\overrightarrow{GI}\)| = |  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 120 \\ 255 \end{pmatrix}\) -  \( \begin{pmatrix} 40 \\ 120 \\ 180 \end{pmatrix}\)| = |  \( \begin{pmatrix} -40 \\ 0 \\ 75 \end{pmatrix}\)| = √(40² + 75²) = 85 → | \(\overline{GI}\)| = 85 cm

cos(α) = cos( <) (\( \begin{pmatrix} -40 \\ 0 \\ 75 \end{pmatrix}\), \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) )) = |\( \begin{pmatrix} -40 \\ 0 \\ 75 \end{pmatrix}\) •  \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) / 85 | 

= | -40 / 85| ≈ 0,4706  →  α = 61,93°

3)

Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten:  

\(\overrightarrow{GH}\)   (K = H)  oder  \(\overrightarrow{GK}\)  mit K = (40|60|180) in der Mitte von GH

Gruß Wolfgang