Zeigen Sie durch direkten Nachweis der Definition der Folgenkonvergenz:

Question

ha04.pdf (0,2 MB)  Aufgabe 4.2

Answer 1

zu 4.2. a) Die Def. heißt doch wohl so ähnlich wie:

zu jedem eps>0 gilt es ein N mit n>N ⇒ | a_n - g | < eps

hier also g=0.

Dann geht so ein Beweis so:

Sei eps > 0  Um das N zu finden rechne ich rückwärts

     | a_n - 0 | < eps     #

        | a_n  | < eps

     | (-1)^n / ( 4n-1 ) | < eps     das (-1)^n spielt für Betrag keine Rolle,

    1 / ( 4n-1)  < eps      mit (4n-1) malnehmen, kein Problem da > 0

1 < eps * ( 4n-1)

1/eps < 4n-1

1 + 1/eps < 4n

1/4 + 1 / 4eps  < n 

als0 sieht man, dass für n > 1/4 + 1 / 4eps  die Ungl. # gilt.

Also endet der Beweis etwa so

Wähle N als eine nat. Zahl die größer als 1/4 + 1 / 4eps

(Diese gibt es nach Ax. des Archimesdes) dann gilt für n > N

die Ungleichung #.   q.e.d.