Eigenwerte und Eigenvektoren mit einen lineares Differentialgleichungssystem

Question

Man nennt

$$ \vec{y}^{\prime}=A \vec{y}, \quad A \in \mathbb{C}^{n \times n}, $$

ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordung mit konstanten Koeffizienten. Dabei sind die Elemente von \( \vec{y} \) Funktionen von \( x \), und \( \vec{y}^{\prime} \) ist die komponentenweise Ableitung nach \( x \), d.h.

$$ \vec{y}(x)=\left(\begin{array}{c} y_{1}(x) \\ \vdots \\ y_{n}(x) \end{array}\right), \quad \vec{y}^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{c} y_{1}^{\prime}(x) \\ \vdots \\ y_{n}^{\prime}(x) \end{array}\right) $$

a) Rechnen Sie nach: Ist \( \lambda \) ein Eigenwert von \( A \) mit zugehörigem Eigenvektor \( \vec{u} \), so ist
$$ \vec{y}(x)=\mathrm{e}^{\lambda x} \vec{u} $$
eine Lösung des DGL-Systems.

b) Zeigen Sie: Jedes \( \vec{y} \) der Form
$$ \vec{y}(x)=\mathrm{e}^{A x} \vec{b}, \quad \vec{b} \in \mathbb{C}^{n} \text { beliebig, } $$
ist eine Lösung des DGL-Systems. Welchen Wert nimmt \( \vec{y}(0) \) an?

Answer 1

Hallo :-)

Zu a). Es gilt zunächst \(\vec{y}'(x)=\lambda\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot \vec{u}\), wobei \(\vec{u}\in \mathbb{C}^n\) ein Eigenvektor von \(A\) mit zugehörigem Eigenwert \(\lambda\in \mathbb{C}\) ist. Dann ist

$$ A\cdot \vec{y}(x)=A\cdot \left(e^{\lambda\cdot x}\cdot \vec{u}\right)=e^{\lambda\cdot x}\cdot \left(A \cdot \vec{u}\right)=e^{\lambda\cdot x}\cdot \left(\lambda\cdot \vec{u}\right)=\lambda\cdot \left( e^{\lambda\cdot x}\cdot \vec{u}\right)=\vec{y}'(x). $$

Zu b). Es gilt zunächst \(\vec{y}(x)=e^{A\cdot x}\cdot \vec{b}=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (A\cdot x)^k\right)\cdot \vec{b}\).

Dann ist

$$\begin{aligned} \vec{y}'(x)&=\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{k!}\cdot (A\cdot x)^{k-1}\cdot A\right)\cdot \vec{b}\\&=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(k+1)!}\cdot (A\cdot x)^k\cdot A\right)\cdot \vec{b}\\&=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (A\cdot x)^k\cdot A\right)\cdot \vec{b} \\&=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (A\cdot x)^k\right)\cdot A\cdot \vec{b}\\&=e^{A\cdot x}\cdot A\cdot \vec{b}\\&=A\cdot \left(e^{A\cdot x}\cdot \vec{b}\right)=A\cdot \vec{y}(x), \end{aligned}$$

sodass die DGL \(\vec{y}'=A\cdot \vec{y}\) mit dem Ansatz \(\vec{y}(x)=e^{A\cdot x}\cdot \vec{b}\) erfüllt ist.

Weiter ist

$$\begin{aligned} \vec{y}(0)&=e^{A\cdot 0}\cdot \vec{b}=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (A\cdot 0)^k\right)\cdot \vec{b}=\Big(1\cdot (A\cdot 0)^0+1\cdot (A\cdot 0)^1+...\Big)\cdot \vec{b}\\&=(I_n+0+...)\cdot \vec{b}=\vec{b}. \end{aligned}$$

Comments

Vielen Dank :)