Urne, Kugeln, Stochastik

Question

hey,

Eine Urne enthält 3 rote und 3 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird aus der Urne genommen und die Farbe festgestellt. Die Kugel wird zurückgelegt und die Anzahl der Kugeln der gezogenen Farbe ver-n-facht. Anschließend wird wieder eine Kugel gezogen.
Für welches n ist die Wahrscheinlichkeit für
a) 2 verschiedenfarbige Kugeln größer als 25%,
b) 2 gleichfarbige Kugeln größer als 90%?

Ich habe nur als Ansatz:

P(rot)=3/6 P(schwarz)=3/6

Answer 1

Eine Urne enthält 3 rote und 3 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird aus der Urne genommen und die Farbe festgestellt. Die Kugel wird zurückgelegt und die Anzahl der Kugeln der gezogenen Farbe ver-n-facht. Anschließend wird wieder eine Kugel gezogen. 
Für welches n ist die Wahrscheinlichkeit für 
a) 2 verschiedenfarbige Kugeln größer als 25%, 

P(rs, sr) = 3/6 · 3/(3·n + 3) + 3/6 · 3/(3·n + 3) > 0.25 --> -1 < n < 3 --> Nur für n = 1 und n = 2 (und n = 0 soweit eine Vernullfachung sinn macht.)

b) 2 gleichfarbige Kugeln größer als 90%?

P(rr, ss) = 3/6 · (3·n)/(3·n + 3) + 3/6 · (3·n)/(3·n + 3) > 0.9 --> n > 9 --> Das n muss größer gleich 10 sein.

Comments

Danke

Ich habe das Spiel/Experiment nicht ganz verstanden, zieht man also immer 4 Kugeln oder 2 ?

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Wenn  ich das berechne P(rs, sr) = 3/6 · 3/(3·n + 3) + 3/6 · 3/(3·n + 3) > 0.25 , komme ich auf n=3.

mhh

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Achtung. Dort steht > 0.25 und nicht = 0.25. Das macht einen Unterschied.

Du ziehst 2 Kugeln und nicht 4. Wie kommst du auf 4?

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Aso es gibt aber zwei verschiedene Möglichkeiten...

Wie berechnet man denn sowas P(rs, sr) = 3/6 · 3/(3·n + 3) + 3/6 · 3/(3·n + 3) > 0.25 , wenn kein ,,=" vorhanden ist?

Und noch eine Frage...

Warum steht das ,,n" im Nenner und nicht im Zähler?

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Im Zähler steht die Anzahl günstiger Möglichkeiten. Wenn ich als zweites eine schwarze kugel ziehe und die Anzahl schwarzen nicht verändert worden bleibt der Zähler bei 3. Im Nenner steht allerdings die Anzahl aller Möglichkeiten. Und da wir ja die Anzahl der Kugeln verändern wirkt sich das hier aus.

Wenn du der Überzeugung nbist n = 3, dann setzt doch mal für n = 3 ein und berechne damit die Wahrscheinlichkeit? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dann?

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Verstehe ich nicht ganz...die Kugel wird doch wieder zurückgelegt, sodass es doch 3/6 immer noch bleibt oder?

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Ich greife rein und ziehe z.B. eine rote Kugel. Die tu ich jetzt wieder zurück. Allerdings kommen noch mehr rote Kugeln in die Urne. Und zwar genau so viele, dass die Anzahl der roten Kugeln genau ver n-facht werden.

Waren es also vorher 3 und ich verdoppel sie tu ich nochmals drei rote Kugeln hinein. Dann hat man 6 rote und 3 schwarze Kugeln.

Was ist mit meinem Vorschlag dir zur Not ein paar Kugeln hinzulegen.

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Dankeschön, ich hatte das Experiment nicht ganz verstanden, deshalb...

Kannst du mir vielleicht erklären, wie man so was löst ...3/6 · 3/(3·n + 3) + 3/6 · 3/(3·n + 3) > 0.25

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3/6 · 3/(3·n + 3) + 3/6 · 3/(3·n + 3) > 0.25

Zunächst mit den Nennern multiplizieren

3/6·3 + 3/6·3 > 0.25·(3·n + 3)

3/6·3 + 3/6·3 > 0.25·3·(n + 1)

3/6 + 3/6 > 0.25·(n + 1)

1 > 0.25·(n + 1)

4 > n + 1

3 > n

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Danke b) habe ich auch raus..

Zu a) 3>n dass bedeutet n kann nur 2 oder 1 sein oder?,weil es keine 0 Kugeln gibt oder?

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0 Würde eigentlich rein Mathematisch auch gehen. Ich habe n als Natürliche Zahl ohne 0 gewertet, weil eine Vernullfachung bedeuten würde man nimmt dann die entsprechenden Kugeln heraus.

Ich füge das mal oben in Klammern dazu.

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Dankeschön, eine Frage habe ich noch:

Wieso steht hier das n auch im Zähler? beib b)

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Weil du dort die Anzahl die Kugeln änderst die Du noch ziehen möchtest.

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Wie kommt man da auf den Ansatz?

Warum ist das durch 3n+3geteilt ?

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Anfangs sind 3 von einer Sorte drin, dann 3+3n, 3n ist die Sorte, die gezogen wurde.

Answer 2

Hi!

Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Kugeln:

P= 2 *3/6 * 3/(3+3n)

Diese soll größer als 25% sein, also:

P= 2 *3/6 * 3/(3+3n)  = 0,25     |*(3+3n)

3=0,25(3+3n)

3=0,75+0,75n   |-0,75

2,25= 0,75n    |*4/3

3=n

A: Die Kugeln dürfen höchstens verdreifacht werden, damit die Wahrscheinlichkeit größer als 25% ist.

Comments

vielen dank , wieso steht das ,,n" im Nenner und nicht im Zähler? Und wieso ,,2*" ?

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b.) zwei gleichfarbige Kugeln:

P= 2* 3/6 * 3n/(3+3n)

Das soll größer als 90% sein, deshalb:

P= 2* 3/6 * 3n/(3+3n)   =0,9

3n/(3+3n)   =0,9  |*(3+3n)

3n=0,9*(3+3n)

3n=2,7+2,7n     |-2,7n

0,3n=2,7           |*10/3

n=9

A: Es muss  mindestens verneunfacht werden, damit die Wahrscheinlichkeit über 90% liegt.