Warum ist in der folgenden Aufgabe die Innere Funktion = Wurzel(1-x^2)?

Question

HHalo

Warum ist in der folgenden Aufgabe die Innere Funktion = Wurzel(1-x^2)  und nicht 1-x^2?  Wie bnestimmt man, die innere und äussere Funktion, einer "geschahtelten" Funktiopn? Wann gehären Wurzeln, Potenzen usw. dazu und wann nicht?

Aufgabe: a) y' = x/ (Wurzel(1+x^2)) ?

Danke

Answer 1

Die innere Funktion von y' = x/ (√(1+x²)) gibt es nicht, weil x/ (√(1+x²)) ein Quotient von Funktionen ist, und nicht eine Verkettung von Funktionen.

Wenn man y' = x/ (√(1+x²)) ableiten möchte ohne dabei die Quotientenregel anzuwenden, dann geht man wie folgt vor:

1. y' = x/ (√(1+x²)) mittels negativer Exponenten in ein Produkt umschreiben:
            y' = x · (√(1+x²))^-1
2. Mit der Produktregel ableiten. Dazu muss man h(x) = (√(1+x²))^-1 ableiten.

h(x) = (√(1+x²))^-1 ist eine verkettete Funktion. Für die Anwendung der Kettenregel muss die Funktion in eine äußere und eine innere Funktion zerlegt werden.

Die Zerlegung einer Funktion in eine äußere Funktion und eine innere Funktion ist nicht eindeutig. Für die Zerlegung h(x) = u(v(x)) = (√(1+x²))^-1 sind zum Beispiel denkbar:

• u(v) = v^-1, v(x) = √(1+x²)
• u(v) = (√v)^-1, v(x) = (1+x²)
• u(v) = (√(1+v))^-1, v(x) = x²

Für die Anwendung der Kettenregel sollte die äußere Funktion so gewählt werden, dass sie einfach abgeleitet werden kann. Und das ist in diesem Fall u(v) = v^-1, v(x) = √(1+x²).

Mann könnte (√(1+x²))^-1 auch umschreiben zu (1+x²)^-1/2. Dann würde auch die Zerlegung u(v) = v^-1/2, v(x) = 1+x² zu einer äußeren Funktion führen, die einfach abgeleitet werden kann. Du hast da etwas Handlungsspielraum.

Comments

Danke, es geht doch um die Integration, oder? Und kann man nicht die Substitutionsregel für den Nenner anwenden, und dann zudem den Zähler mit dem Substituenten des Nenner ersetzen?

Danke

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> Danke, es geht doch um die Integration, oder?

Es ging mir hauptsächlich darum, dass die Zerlegung einer zusammengesetzten Funktion in eine äußere und eine innere Funktion nicht eindeutig ist.

Danach ging es darum, wie man eine zusammengesetzte Funktion zerlegt, um sie mit der Kettenregel ableiten zu können.

> Und kann man nicht die Substitutionsregel für den Nenner anwenden

Nein. Man wendet die Substitutionsregel an um Produkte zu integrieren. Der Nenner ist kein Produkt, sondern eine Wurzel.

Später vielleicht mehr dazu, ich muss jetzt weg. Wärendessen könntest du ...

> Aufgabe: a) y' = x/ (Wurzel(1+x²)) ?

... erkären, was die Aufgabe ist. "y' = x/ (Wurzel(1+x²))" ist keine  Aufgabe, sondern eine Gleichung.