Symmetrie bei ln-Funktion : k(x) = 2*ln(x-1)² / (x-1)

Question

Hi,

Wie kann man das Symmetrieverhalten bei ln-Funktionen untersuchen?

z. B. bei dieser Funktion.

k(x) = 2*ln(x-1)² / (x-1)

Es soll heraus kommen, dass diese Funktion punktsymmetrisch zu (1;0) ist, aber wie kommt man da drauf?

LG

Answer 1

k(x) = 2*ln(x-1)² / (x-1)

Betrachte erst mal:

h(x) = 2* ln((x)²) / (x)

ln((x^2)) ist symmetrisch zur y-Achse, denn ln((-x)^2) = ln(x^2) .

1/x ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Daher ist schon mal h(x) = 2* ln((x)²) / (x) punktsymmetrisch zum Ursprung. 

So weit verstanden? 

Nun geht der Graph von k aus einer Parallelverschiebung von h hervor: Man schiebt h um eine Einheit nach rechts. Das Symmetriezentrum verschiebt sich dabei vom Ursprung zu P(1|0).

Comments

Danke. Wieaber  kann man die Punktsymmetrie ohne diese gedankliche Verschiebung der Funktion in den Ursprung nachweisen?

Answer 2

Zunächst bietet es sich an die Funktion k um 1 nach links zu verschieben, damit das vermutete Symmetriezentrum im Ursprung (0, 0) und nicht bei (1, 0) liegt. Hierzu ersetze jedes x in der Funktion k durch (x+1) für die Verschiebung um 1 nach links; und nenne das Ergebnis z.B. f(x) :

f(x)= 2*ln([x+1]-1)² / ([x+1]-1) = 2*ln (x²) / (x)

=> Wenn f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist k punktsymmetrisch zu (1, 0).

Die Punktsymmetrie zum Ursprung lässt sich einfach überprüfen- es muss dann gelten:
f(-x) = -f(x).

Bestimme also zunächst f(-x):

f(-x) = 2*ln(-x)² / (-x) = -2*ln (x²) / (x)

Danach bestimme -f(x):

-f(x) =  -2*ln(x²) / (x)

Es gilt also f(-x) = -f(x). Damit ist f punktsymmetrisch zum Ursprung und k(x) ist punktsymmetrisch zu (1, 0).