lineare Abbildung injektiv surjektiv

Question

Geben Sie jeweils eine lineare Abbildung T:R³ --> R² an und begründen Sie, warum sie die geforderten Eigenschaften hat, oder erklären Sie, warum es keine solche Abbildung gibt.

a) T ist Injektiv, aber nicht surjektiv.

b) T ist surjektiv, aber nicht Injektiv.

c) T ist weder Injektiv noch surjektiv.

d) T ist Injektiv und surjektiv.

Answer 1

Ein Vorschlag (ohne Gewähr).

a) T ist Injektiv, aber nicht surjektiv.

Injektiv geht nicht. Es muss einen Kern geben, der mindestens die Dimension 1 hat. Alle Elemente des Kerns werden auf denselben Bildpunkt abgebildet. 

b) T ist surjektiv, aber nicht Injektiv.

T:R³ --> R² , mit T((x,y,z)) := (x,y)  erreicht alle Punkte des R^2 (=surjektiv) und T((1,2,3)) = T((1,2,4)) heisst nicht injektiv. 

c) T ist weder Injektiv noch surjektiv.

T:R³ --> R² , mit T((x,y,z)) := (x,0) 

erreicht nicht alle Punkte des R^2. Bsp. (1,1) wird nicht erreicht. (nicht surj.) und T((1,2,3)) = T((1,2,4)) heisst nicht injektiv. 

d) T ist Injektiv und surjektiv.

Injektiv geht nicht. Es muss einen Kern geben, der mindestens die Dimension 1 hat. Alle Elemente des Kerns werden auf denselben Bildpunkt abgebildet.