Zeigen sie, dass f o g(x) = x. f(x)= 1/2 * (e^x - e^-x) und g(x)= ln(x+ √(x^2 + 1) )

Question

Wir versuchen hier grade eine Gleichung zu lösen, kommen aber leider nicht wirklich auf die Antwort:
f(x)= 1/2 * (e^x - e^-x)
g(x)= ln(x+ Wurzel(x^2 + 1) )
Zeigen Sie, dass f o g(x) = x

Danke.

Comments

Mathe_Coach hat angenommen, dass ihr

f o g(x) als  f ( g(x)) definiert habt. Das ist so üblich aber nicht zwingend.

Man sieht gelegentlich auch (f o g) (x):= g(f(x)). In diesem Fall müsstet ihr noch die Umkehrung rechnen. Sollte aber nun keine Schwierigkeiten mehr bereiten.

Answer 1

f(x) = 1/2·(e^x - e^{-x})

g(x) = LN(x + √(x^2 + 1))

f o g(x) = 1/2·(e^LN(x + √(x^2 + 1)) - e^{- LN(x + √(x^2 + 1))})

f o g(x) = 1/2·((√(x^2 + 1) + x) - 1/(√(x^2 + 1) + x))

Auf einen Hauptnenner bringen und Zusammenfassen

f o g(x) = 1/2·((√(x^2 + 1) + x)*(√(x^2 + 1) + x)/(√(x^2 + 1) + x) - 1/(√(x^2 + 1) + x))

f o g(x) = 1/2·((2·x·√(x^2 + 1) + 2·x^2 + 1 - 1)/(√(x^2 + 1) + x))

f o g(x) = 1/2·((2·x·(√(x^2 + 1) + x))/(√(x^2 + 1) + x))

f o g(x) = 1/2·(2·x)

f o g(x) = x