Konvergenzordnung Fixpunktgerade

Question

Ich habe eine kurze Frage bzgl. der Konvergenzordnung einer Fixpunktgerade. Da sich jeder Punkt der Fixpunktgerade in sich selbst wieder abbildet kann ich ich quasi jeden Startwert x wählen, er wird bei einer entsprechenden Iteration wieder ausgegeben und bildet somit den Grenzwert bzw. die iterative Lösung x*. Wenn ich jetzt die Konvergenzordnung berechnen möchte

rechne ich  für s=1     (x(n+1) - x*) / (x(n+1) - x*)^1

kurzes bsp. start wert sei x = 0,75 bei der Iterationsfunktion phi(x) = x

 dann bekomme ich für x(n+1) = 0,75 und dieser Wert stellt auch die Iterative Lösung (Fixpunkt) dar.

Wenn ich jetzt die Konvergenz für s = 1 berechne erhalte ich (0,75-0,75) / (0,75-0,75)^1 und das ist  0/0.

Kann ich sagen, dass ich bei einer Iterationsfunktion phi(x) = x keine Konvergenz vorliegen habe? Rechnerisch komme ich auf dieses Ergebnis, aber logisch finde ich es nicht, da die Konvergenz doch ein Maß dafür ist, wie schnell eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert. Und hier liegt nach dem ersten Iterationsschritt die Lösung vor. Eine schneller Lösung ist doch nicht möglich? Oder stellt die Fixpunktgerade einen mathematischen Sonderfall dar.

Ich wäre dankbar für etwas Erleuchtung:

Answer 1

Hi,
ein Verfahren konvergiert linear wenn gilt
$$ | x_{k+1} - x^* | \le L | x_k - x^* | $$ falls \( L < 1 \) gilt. Für die Banachsche Fixpunkt Iteration gilt
$$ | x_{k+1} - x^* | = | \varphi(x_k) - \varphi(x^*) | \le L |x_k - x^*|  $$ mit \( L < 1 \), also kovergiert das Verfahren linear.
Hilft das weiter?

Comments

Das dieser Ausnahmefall linear konvergiert ist mir von der theoretischen Überlegung her klar.  Aber ist in diesem Fall das L nicht = 1? Meine Frage zielte mehr darauf ab, welche Konvergenzordnung (s ) vorliegt. Ich hätte ja gesagt, es liegt keine Konvergenzordnung vor, doch die Funktion konvergiert. Ob diese Aussage mathematisch korrekt ist, da bin ich mir nicht sicher!

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Wenn \( \varphi(x) = x  \) gilt, folgt doch auch das \( x^* = x \) und \( x_k = x \) gilt und dann gilt \( |x_{k+1}-x^*| = |x-x|=0 \le L |x-x|=0 \) für jedes \( L \) also auch für ein \( L < 1 \)

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Danke für die Veranschaulichung jetzt sehe ich es auch.

 Also handelt es sich nach Banach um eine kontrahierende Funktion. Das war mir von der Überlegung her schon klar. Aber für mich steht immer noch nicht fest nach welcher Konvergenzordnung diese Funktion konvergiert. Konvergenz 1. Ordnung berechnet sich über (x(n+1)-x*)/(x(n)-x*)^1, bei der zweiten  Ordnung wäre es dann ^2, bei der dritten ^3.  Bei der ersten Ordnung muss die Folge gegen einen Grenzwert kleiner 1 laufen. Doch hier erhalte ich ja 0/0 also nicht lösbar. Die Iterationsfolge startet somit gar nicht.  Besitzt die lineare Konvergenz somit keine bestimmbare Konvergenzordnung?

Ich habe folgende Definition für diesen Fall hinsichtlich der Konvergenzordnung  (weder anziehenden noch abstoßenden)  gefunden.....schlauer macht er mich nicht.

Intervall I = {} = ∃ x_i^o ∈ I wobei das umgedrehte E durchgestrichen ist.

wenn ich das interpretiere, dann würde ich sagen, dass es im leeren Intervall I keine x_i gibt die im ersten Iterationsschritt im Intervall arbeiten. Aber ich hätte einfach gesagt, das diese Funktion keine Konvergenzordnung besitzt. Ist diese Aussage falsch???