Gleichung nach x auflösen mit weiterer Variablen: sqrt(x-1) = a* sqrt(x-a^2)

Question

Ich habe folgende Gleichung und komme seit 30 Minuten nicht weiter sie zu lösen.

sqrt(x-1) = a* sqrt(x-a^2)

Die Gleichung muss nach x aufgelöst werden. Laut dem Lösungsbuch lautet das Ergebnis x= 1+a^2

Wer kann mir den Rechenweg schildern?

Comments

EDIT: Die "andere Variable" nennt man "Parameter". Man geht davon aus, dass das eine (möglichst) beliebige, aber vorgegebene Grösse (Zahl) ist. Habe bei den Tags "Parameter" ergänzt.

sqrt(x-1) = a* sqrt(x-a²) setzt voraus, dass x grösser als 1 und grösser als a^2 ist (Wurzeln aus neg. Zahlen sollten nicht vorkommen). Das ist beim Ergebnis im Lösungsbuch der Fall. Es kann also stimmen (EDIT: für diesen Fall). 

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Das Ergebnis im Lösungsbuch übersieht einiges (vgl. meine Antwort):

a < 0:  L = { }

a = 1:  L = [1; ∞[

a ∈ ℝ₀⁺ \ {1}:    L = { a² + 1 } 

Answer 1

falls in der Aufgabe nicht irgendwo a>1 oder "a≥0 und a≠1" (?)  vorausgesetzt ist, ist die Lösung im Buch für a=1 und für a<0 falsch:

\(\sqrt[]{x - 1}\) = a • \(\sqrt[]{x - a^2}\)

Weil die Radikanden unter der Wurzel nicht negativ sein dürfen:

Definitionsmenge D = [ 1 ; ∞ [ ∩ [a² ; ∞ [

Gleichung quadrieren (erfordert spätere Probe!):

x - 1 = a² • (x - a²) 

x - 1 = a²x - a⁴  | + 1 | - a²x

x - a²x = 1 - a⁴

x • (1 -a²) = (1 - a²) • (1 + a²)  [ rechts binomische Formel (a² - b²) = (a+b) • (a-b) ]

1. Fall: 1 - a² ≠ 0 , also a ≠ ±1

dann kann man durch 1- a² dividieren

  →  x = 1+a² , Probe ergibt  |a| = a 

    Fall 1.1:    a ≥ 0      L = { 1 + a²)    [ ⊂ D!]             (Lösungsbuch!)

    Fall 1.2:    a < 0      L = { }

2. Fall:  a = -1:

  \(\sqrt[]{x - 1}\) = - \(\sqrt[]{x - 1}\) ⇔ x = 0 ∉ D  →  L = { }

3. Fall: a = 1

\(\sqrt[]{x - 1}\) =  \(\sqrt[]{x - 1}\)                        → L = D = [ 1 , ∞ [

Zusammenfassung der Lösung:

a < 0:                  L = { }

a = 1:                  L = [1; ∞[

a ∈ ℝ₀⁺ \ {1}:    L = { a² + 1 } 

Gruß Wolfgang

Answer 2

sqrt(x-1) = a* sqrt(x-a²)

Comments

Die Probe ergibt |a| = a

Auch wenn man das beim Anschauen der Gleichung direkt sieht, sollte man also wohl noch erwähnen, dass a ≥ 0 gelten muss, weil die Lösungsmenge sonst leer ist.

Etwas gravierender erscheint mir die folgende Unterlassungssünde bei deiner Lösung, weil Letztere dadurch für a = 1 tatsächlich falsch wird:

Du dividierst bei deiner Rechnung durch  1-a² ( die Gleichung vor dem Dividieren ist für 1-a² = 0 allgemeingültig!)

Der Fall a=±1 bedarf also einer gesonderten Überprüfung:

a = -1:   →  L = { }  fällt auch bei der Probe auf.

a=1 :  √(x-1) = √(x-1)  → L = [1 ; ∞[

Also:

a < 0:  L = { }

a = 1:  L = [1; ∞[

a ∈ ℝ₀⁺ \ {1}:    L = { a² + 1 } 

Solche Fallunterscheidungen sind eigentlich der Grund, warum man solche Gleichungen mit Parametern in der Schule betrachtet.