f(x) := (x^2)/((x-1)^2) Suche erste Ableitung !

Question

Habe bei dieser Aufgabe keine Problem alles einzeln abzuleiten aber ich tue mir immer so schwer

bei ausrechnen zb bei der Quotientenregel:

Bei mir sieht es z.B so aus:

2x*(x-1)^2 - (x^2) * (2(x-1)) / (x-1)^4 =

Und hier bei dem ausrechnen tue ich mir irgendwie immer schwer ! :-(

Answer 1

Das sieht doch soweit gut aus. Nur musst du hier wenn man das in einer Reihe schreibt den Zähler Klammern

(2x*(x-1)² - (x²) * (2(x-1))) / (x-1)⁴

Als erstes wird jetzt aber gekürzt

= (2x*(x-1) - (x²) * 2) / (x-1)³

Dann ist das ausrechnen auch nicht mehr so schwer

= (2x^2 - 2x - 2x²) / (x-1)³

= - 2x / (x-1)³

Das sieht doch gleich viel besser aus oder?

Comments

Vielen Dank Mathe Coach aber wie war des nochmal mit kürzem ? was darf ich da kürzen ?
da war doch eine regel mit kürzen mit summen nur die dummen ! was ist damit gemeint ?

gruß

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Also hast du im zähler die (x-1)^2 mit dem sich im zähler befindenen (x-1) gekürzt ?
was (x-1) ergibt und dann damit im zähler gekürzt ? seh ich das richtig ?

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Ja. Aus Summen Kürzen nur die Dummen. Aber nur weil die Dummen es meist verkehrt machen und deswegen nicht machen sollten :)

Wichtig ist das Du oben aus jedem Summanden den Faktor kürzen musst. Man könnte auch vorher ausklammern

(a*b + a*c) / (a*d)

= a(b + c) / (a*d)

= (b + c) / d

Oder aber gleich Kürzen

(a*b + a*c) / (a*d)

= (b + c) / d

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Achtung. Man kürzt nie Sachen im Zahler gegen Sachen im Zahler.

Ich kürze aus jedem Summanden im Zähler die (x - 1) gegen eine (x - 1) im Nenner.

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hab nun nochmal gerechnet ! bitte nur reim zum verstädnis ich bin echt ein dummkopf was das angeht =)

also wenn ich die (x-1) von der 2(x-1) mit dem nenner kürze muss ich damit auch einmal mit der (x-1)^2

von der 2x*(x-1)^2 kürzen ?


weil du musst mich verstehen ich hab anfangs alles einzeln gekürt und kam somit im nenner aufeinmal

auf (x-1) weil ich sozusagen 3 mal gekürzt habe :(

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Ja das ist auch sehr schwierig zu verstehen. 

Schau dir das beispiel oben an

(a*b + a*c) / (a*d)
= (b + c) / d

Man kurz das a aus dem ersten Summanden mit dem a im Nenner. Allerdings muss man aus dem 2. Summanden das a auch gleich mit wegnehmen.

Man darf dann auch nur Kürzen wenn in beiden Summanden der Faktor steht.

Also man kürzt das (x - 1) aus dem linken Summanden und das (x - 1) aus dem rechten Summanden gegen ein (x - 1) aus dem Nenner.

Answer 2

Die Formel lautet so?

f(x) = x^2 / (x-1)^2

Dann wenden wir die Quotientenregel an:
(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

u = x^2

u' = 2x

v = (x - 1)^2
v' = 2x - 2

Alles in die Formel eingesetzt:
f'(x) = [2x * (x - 1)^2 - x^2 * (2x - 2)] / (x - 1)^4

f'(x) = (2x * (x - 1)^2 - 2x^2 * (x - 1) / (x - 1)^4  | kürzen durch (x - 1)

f'(x) = (2x * (x - 1) - 2x^2) / (x - 1)^3

f'(x) = 2x * (x - 1) - 2x^2 / (x - 1)^3

f'(x) = 2x^2 - 2x - 2x^2  / (x - 1)^3

f'(x) = -2x / (x - 1)^3