Warum versagt bei der Bestimmung von limx→∞ x / (Wurzel(1+x^2)) die Regel von L’Hospital?

Question

laut Aufgabenstellung versagt bei  lim_x→∞  x / (Wurzel( 1+x² )) die Regel von L'Hospital. Ich würde aber mal gerne wissen warum.

Denn bei mir klappt es eigentlich damit:  lim_x→∞ x / (Wurzel (1+x² ))  ist aufgrund von L'Hospital =

  lim_x→∞ 1 / ( 0,5* (1+x²)^-0,5 ) = unendlich.

Answer 1

[ √(1+x²) ] ' = 2x • 1/ (2 • √(1+x²)) =  x / √(1+x²)    [ ≠  0,5* (1+x²)^-0,5 ]

lim_x→∞ [ x / √(1+x²) ]

=_?  lim_x→∞ [ 1 / (x / √(1+x²)) ]  =_?  lim_x→∞ [ √(1+x²) / x ] =  lim_x→∞ [ (x / √(1+x²)) / 1 ]

=_?  lim_x→∞  [ x / √(1+x²) ] 

L' Hospital endet also in einer "Schleife".

Deshalb sind natürlich die Gleichheitszeichen in der vorletzten Zeile "rein provisorisch", weil sie die Existenz der Grenzwerte voraussetzen.

Im Übrigen gilt  lim_x→∞ [ x / √(1+x²) ]  = lim_x→∞ [ x / [ |x| • √( 1/x²+ 1) ] 

=  lim_x→∞ [ x / [ x • √( 1/x²+ 1) ]  =  lim_x→∞ [ 1 / √(1/x²+ 1) ]  = 1

Gruß Wolfgang

Answer 2

lim x−> ∞  [ x / √ ( 1 + x^2 ) ]
lim x−> ∞  [ √ ( x ^2 / ( 1 + x^2 )) ]
Die Wurzel lassen wir einmal weg und schauen wo
lim x−> ∞  [ x ^2 / ( 1 + x^2 ) ]
mit L´Hospital hingeht
lim x−> ∞  [  (x ^2 ) ´ / ( 1 + x^2 ) ´ ] = 2x / 2x = 1
√ 1 = 1

Comments

das beantwortet allerdings nicht die eigentliche Frage, warum L'Hospital bei direkter Anwendung auf die Ausgangsfunktion versagt.

---

Das stimmt.
Aus Erfahrung weiß ich das L´Hospital in sehr seltenen
Fällen nicht funktioniert.
Dann müßte man nocheinmal nachsehen wie die theoretische
Herleitung für L´Hospital ist.