Betrachten Sie die Differentialgleichung y' = ey cos(x), (x,y) ∈ U := ℝ2

Question

1) Erfüllt die Differentialgleichung die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf?

2) Bestimmen Sie für jedes \( { y }_{ 0 }\in ℝ \) alle Lösungen der Anfangswertaufgabe $$ y'={ e }^{ y }cos(x),\quad y(0)={ y }_{ 0 }. $$

3) Geben Sie sämtliche Werte \( { y }_{ 0 }  \) an, für welche die Anfangswertaufgabe eine auf \(ℝ\) definierte Lösung besitzt.

4) Geben Sie eine Anfangsbedingung \(y({ x }_{ 0 }) = { y }_{ 0 }\) an, die keine in \(x = 0 \) erklärte Lösung besitzt.

Answer 1

Zu 2)

y ' =  e^y *cos(x) ->Trennung der Variablen

dy/dx= e^y *cos(x)

dy/(e^y) = cos(x)*dx

-  e^-y= sin(x) +C_1 |*(-1)

  e^-y= -sin(x) -C_1

- y= ln | -sin(x) -C_1|

 y= - ln | -sin(x) -C_1|

die Anfangsbedingung  eingesetzt :

C:_1 = 1/(e^(y_0)

------>

y= -ln | -sin(x)  - 1/(e^y_0)|

Hinweis: es soll y_ 0 heissen.

Comments

Vielen Dank schonmal. Hast du oder jemand einen Tipp für die 3)?

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3)

give a \({ y }_{ 0 }∈ℝ\) s.t. the solution of \( y'={ e }^{ y }cos(x), \) \(y(0) = y0 \) is Def. on \(ℝ\). $$∀{ y }_{ 0 }<0$$ Leider hat dieser Tutor wohl nicht mehr geschrieben. Vielleicht hat noch jemand eine bessere Lösung.