Okay!
DU sagtest ja, dass dir Kurvendiskussion liegt.
Wie wir auf die STückkostenfunktion kommen weißt du ja jetzt:
Wir haben:
K(x)/x= 0,01x2-0,3x+10+17000/x
Das Betriebsoptimum ist ja nun das Minimum der STückkostenfunktion, also wo die Kosten pro STück minimal sind.
Wir suchen also das Minimum:
Dazu gilt die notwendige Bedingung:
f '(x)=0
Wir müssen also die Stückkostenfunktion erst ableiten:
0,01x2-0,3x+10+17000/x ableiten
-> 0,02x-0,3 -17000/x2
Jetzt sollen wir nur zeigen ,dass ein Minimum bei x=100 vorliegt.
Theoretisch würde es also reichen, wenn wir x=100 in die abgeleitete Funktion eingeben und da 0 herauskommt, da wir dann ja gezeigt haben, dass da ein Extremum vorliegt. WIr machen das mal:
0,02*100-0,3 -17000/1002 =0
-> stimmt also
Jetzt kann man noch mit der hinreichenden Bedingung:
f ''(x)≠0 prüfen ob an dieser Stelle wirklich ein Minimum ist:
dafür müssen wir also nochmal ableiten:
0,02x-0,3 -17000/x2 ableiten
0,02+34000/x3
-> Wir setzen x=100 ein. Kommt etwas positives heraus, so haben wir bei x=100 ein Minimum nachgewiesen
f ''(100)=27/500 -> positiv also Tiefpunkt.
Damit hätten wir gezeigt, dass das Betriebsoptimum bei x=100 liegt.