Definitionsbereich von ln -funktion

Question

f(x) = (3*ln(x-1)²) / (x-1)

Definitionsbereich = ℝ\(1)

Wenn man die Logarithmusgesetze anwendet, erhält man doch

f(x) 6*ln(x-1) / (x-1)

Hier ist der Definitionsbereich = ]1;+∞[

Es handelt sich doch trotzdem um die gleichen Funktionen.

Wie kann es dann unterschiedliche Definitionsbereiche geben?

Answer 1

Hi Simon!

Lautet die Funktion:

(3*ln((x-1)²)) / (x-1)

oder 

(3*ln(x-1)²) / (x-1)

?
Beachte die Klammern, denn die Umformung von 

3*ln(x-1)² ist nicht
=6ln(x-1)

Comments

3*ln(x-1)² 

So heißt der Zähler der Funktion. Also mit (x-1)² ist das Argument der ln-Funktion gemeint.

---

Dann meinst du aber ln((x-1)²).

Wenn du 3*ln(x-1)²   schreibst, ist das Argument (x-1) und der Logarithmus davon wird quadriert.

---

 ln((x-1)²)

Das ist gemeint

---

Wie kommst du denn auf die Umformung

6*ln(x-1) / (x-1)

f(x)=(3*ln((x-1)²)) / (x-1)

    =(6ln(|x-1|))/(x-1)

Du siehst dass im Plotter beide Funktionen übereinstimmen:

~plot~ 6*(ln(abs(x-1)) )/ (x-1);(3*ln((x-1)^2)) / (x-1) ~plot~

---

Ja. Ich habe wohl den Betrag einfach weggelassen. Dann gilt ja wieder der gleiche Definitionsbereich.

Kann man hier die Punktsymmetrie über den Ansatz f(-x)=-f(x) nachweisen?

---

Nein. Probiers doch mal. Meines Wissens liefert der Ansatz

f(-x)=-f(x) nur eine Aussage über eine Punktsymmetrie zum Ursprung, was hier ja nicht gegeben ist, was du am gezeichneten Graphen erkennst.

Answer 2

Die Rechenregeln zum Logarithmus müssen auch richtig angewendet werden. So gilt beispielsweise

$$ \log\left(a^2\right) = 2 \cdot \log \left( \left| a \right| \right) \quad\land\quad a \ne 0$$

aber nicht

$$ \log\left(a^2\right) = 2 \cdot \log \left( a \right) \quad\land\quad a \ne 0.$$