folgende Aufgabe ist gegeben:
$$ \text { Gegeben ist die Funktion } \quad f(x, y)=\mathrm{e}^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y $$
(a) Geben Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Funktion an.
(b) Was ist die Richtungsableitung der Funktion entlang des Vektors \( \vec{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1)^{T} ? \)
(c) Untersuchen Sie \( f \) auf Extrema. Handelt es sich um Maxima, Minima oder Sattelpunkte?
Lösungsansatz:
\( f(x, y)=e^{-(x-2)^{2}-y^{2}-3 y} \)
\( f_{x}=-2 \cdot e^{-(x-2)^{2}} \cdot(x-2) \)
\( f_{y}=-2 y-3 \)
\( H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}{-2 \cdot e^{-(x-2)^{2}} \cdot(x-2)} & {0} \\ {0} & {-2 y-3}\end{array}\right) \)
\( \operatorname{grad}(f)=\nabla f=\left(\begin{array}{cc}{-2 \cdot e^{-(x-2)^{2}} \cdot(x-2)} \\ {-2 y-3}\end{array}\right) \)
\( \vec{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1)^{T} \)
\( \vec{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {-1}\end{array}\right),|\vec{a}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} / \sqrt{2}=0.5 \)
\( \nabla f \cdot \vec{a}=\left(\begin{array}{cc}{-2 \cdot e^{-(x-2)^{2}} \cdot(x-2)} & {) \cdot 0.5} \\ {-2 y-3} & {) \cdot 0.5}\end{array}\right. \)
\( \max \left\{f(x, y)=e^{-(x-2)^{2}-y^{2}-3 y}\right\}=\frac{13}{4} \quad \) bei \( \quad(x, y)=\left(2,-\frac{3}{2}\right) \)
Zu (c): Um das Maximum zu erhalten wird die 1. Ableitung gebildet. Bei (b) bin ich mir nicht sicher, weil ich zum ersten Mal mit Gradienten rechne. Wie kann man (b) lösen?
Beste Grüße,
Asterix
