Lösungsgesamtheit Diffentialgleichung. y' = -x/u, (x,y) € U:= R x ]0,unendlich[

Question

wie geht man bei dieser Aufgabe vor ?

Comments

Soll unter dem x ein Parameter u stehen?

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y' = -x/y

Ergebnis ist

y = wurzel aus (-x^2 +c)

wie intepretiert man das weiter ? Was genau muss zb c und x sein?

Answer 1

Hi,
die Lösung ist ja wie schon gesagt \( y(x) = \sqrt{-x^2 +c } \).
Die Integrationskonstante \( c \) kann man aus der Anfangsbedingung \( y(x_0) = x_0 \) bestimmen und erhält \( c = x_0^2 + y_0^2 \)
Damit sieht die Lösung so aus
$$ y(x) = \sqrt{R^2 - x^2} $$ mit \( R^2 = x_0^2 + y_0^2 \)

Damit  man reelle Lösungen erhält muss gelten \( x^2 \le R^2 \)
D.h. die Lösung beschreibt einen Kreis mit Radius \( \sqrt{x_0^2 + y_0^2} \).
Das kann man auch aus der Kreisgleichung \( x^2 + y^2 = R^2 \) ableiten, in dem man implizit nach \( x \) differenziert. Dann folgt
$$ 2x + 2y y' = 0 $$ also \( y' = -\frac{x}{y} \)