Nullstellen und Polynom

Question

ich habe nur eine kleine Verständnisfrage:

Kann allgemein der Grad eines Polynoms in K(T)  unendlich sein und wenn ja, impliziert dies auch das Vorhandensein unendlich vieler Nullstellen?

Vielen Dank

Answer 1

Das passiert eigentlich nur in Reihendarstellungen von Funktionen

Und ja. Dann kann ein Polynom theoretisch einen Grad von unendlich haben und auch unendlich viele Nullstellen haben.

Z.B. Reihendarstellung von SIN(x) oder COS(x)

Achtung! Bitte Kommentar beachten!

Solche Reihendarstellung ist aber kein Polynom mehr. Ein Polynom hat also immer einen Grad n und n kann zwar unendlich groß werden aber nicht unendlich sein.

Damit hat jedes Polynom auch endlich viele Nullstellen.

Comments

Dann ist es aber kein Polynom mehr.

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Die Reihendarstellung ist doch noch ein Polynom oder nicht ?

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Nein; Polynome über einem Körper \(\mathbb K\) haben per Definition die Darstellung \(\sum\limits_{k=0}^n a_k X^k\) mit einem \(n\in\mathbb N_0\) und \(a_k\in\mathbb K\). Die Menge dieser Polynome ist der Polynomring \(\mathbb K[X]\).

Über beliebigen Körpern macht es auch gar keinen Sinn, von (Potenz-)Reihen zu sprechen. Dazu braucht man ja erstmal einen Konvergenzbegriff, und den hat man nur über den reellen oder komplexen Zahlen.

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Ok. Danke. Wieder etwas dazu gelernt :)

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Übrigens definiert man den Grad des Nullpolynoms meist als \(-\infty\). Und dieses Polynom ist das einzige, das unendlich viele Nullstellen hat (über unendlichen Körpern). Alle anderen Polynome haben nur endlich viele Nullstellen (höchstens so viele wie der Grad des Polynoms).

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Folgt also die Endlichkeit der Nullstellen und damit deren Abzählbarkeit aus der Tatsache, dass es max. n=deg(f) mit f∈K(T), Nullstellen gibt ?

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Aber warum kann der Grad eines Polynoms nie unendlich groß werden, wenn es nicht das Nullpolynom ist?

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Ja. Und das wiederum folgt daraus, dass ein Element \(a\in\mathbb K\) genau dann Nullstelle von \(f(X)\in\mathbb K[X]\) ist, falls \((X-a)\mid f(X)\); falls man also einen Linearfaktor \((X-a)\) von \(f\) abspalten kann. Und weil ein Polynom n-ten Grades in höchstens n Linearfaktoren zerlegt werden kann, kann es höchstens n Nullstellen haben.

Zu deiner zweiten Frage: Das liegt einfach an der Definition von Polynomen und deren Grad. Und auch das Nullpolynom hat nicht Grad \(\infty\), sondern \(-\infty\).

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Dankeschön, jetzt ist es klar und verständlich.

Answer 2

Ich kenne zwar K(T) nicht, aber ich meine: Sehr theoretisch und ohne praktische Bedeutung könnte der Grad eines Polynoms auch ∞ sein. Wenn man alle komplexen Nullstellen mitrechnet, hat man dann auch unendlich viele Nullstellen.