Grenzwert einer Funktion berechnen

Question

ich muss prüfen ob die untere Funktion für den Wert 1 stätig ist (in zusammenhang mit einer anderen Funktion, aber die ist kein Problem...), ich bekomme immer einen negativen Grenzwert raus, hab aber den verdacht dass das nicht stimmt.

5-4x-x²
x²-6x+5

Gruß

Mathes

Comments

Danke für eure Antworten, hat mir sehr geholfen...

Answer 1

(5 - 4x - x²) / (x² - 6x + 5)

Faktorisieren vom Zähler

5 - 4x - x² = 0
x = -5 ∨ x = 1

5 - 4x - x² = -(x + 5)(x - 1)

Faktorisieren vom Nenner

x² - 6x + 5 = 0
x = 5 ∨ x = 1

x² - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

Buch aufschreiben

(5 - 4x - x²) / (x² - 6x + 5) = -(x + 5)(x - 1) / ((x - 5)(x - 1))

Wir sehen das wir (x - 1) kürzen können. Das nennt man dann die Stetige Ergänzung.

-(x + 5) / (x - 5)

Diese Funktion ist jetzt nur noch unstätig an der Stelle 5. Bei 1 ist diese Funktion stetig.

Answer 2

Hi,

Faktorisiere Zähler und Nenner:

-x^2-4x+5=-(x-1)(5+x)

x^2-6x+5=(x-1)(x-5)

 

Du kannst also direkt die (x-1) kürzen. Es verbleibt:

-(5+x)/(x-5)

 

Man erkennt nun bereits, dass wir es mit einer hebbaren Definitionslücke zu tun haben. Hebbar für

-(5+1)/(1-5)=3/2

 

Es ist also

lim_x->1 (5-4x-x²)/(x^2-6x+5)=3/2

-> Es kann hier stetig fortgesetzt werden.

Grüße

Answer 3

Sei k beliebig klein > 0

 

Berechnung für x = 1 + k

(5 - (4 + 4k) - (1 + k)^2) / ((1 + k)^2 - 6 - 6k + 5))

(1 - 4k - 1 - 2k - k^2) / (1 + 2k + k^2 - 6 - 6k + 5)

(-k^2 - 6k) / (k^2 - 4k)

k (-k - 6) / k (k - 4)

(-k - 6) / (k - 4)

geht gegen -6/(-4) = 3/2 für k gegen 0

 

Berechnung für x = 1 - k analog