Grenzwert berechnen von (log(1+x))/x

Question

Aufgabe:

Grenzwert von (log(1+x))/x, x geht gegen 0 ist aber ungleich 0, soll berechnet werden

Problem/Ansatz:

Der grenzwert ist gleich 1, ich weiß nur nicht wie ich darauf kommen soll, ich weiß dass man

(1+x)^(1/x) umschreiben kann, indem man x=1/y setzt, wenn man diesen term gegen unendlich laufen lässt, erhält man e:

Lim (1+1/y)^y= e

L`hospital darf ich nicht nutzen.

Answer 1

Aloha :)

Zunächst schreiben wir den Term etwas um:$$\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}\cdot x}\right)}{x}=\frac{\ln\left(\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)^x\right)}{x}=\frac{x\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)}{x}=\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)$$

und bestimmen davon nun den Grenzwert:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)=\lim\limits_{y\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right)$$$$\phantom{\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=\ln\left(\lim\limits_{y\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right)\right)=\ln(e)=1$$

Comments

Aloha,

Danke für die antwort, ich habe noch eine Frage, ist es egal ob man jetzt log oder ln schreibt? Kann man sich hier also sicher sein dass der natürliche logarithmus gemeint ist?

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Mit \(\log\) ist normalerweise der Logarithmus zu einer bestimmten Basis gemeint. Wenn keine Basis angegeben ist, ist damit der natürliche Logarithmus gemeint. Also ist $$\log(x)=\ln(x)$$Der Logarithmus zur Basis \(10\) wird als \(\lg\) abgekürzt:$$\log_{10}(x)=\lg(x)$$Der Logarithmus zur Basis \(2\) wird als \(\operatorname{ld}\) oder als \(\operatorname{lb}\) abgekürzt:$$\log_2(x)=\operatorname{ld}(x)=\operatorname{lb}(x)$$

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Da wusste ich nicht, danke :)

Ich wünsche dir noch einen guten rutsch ins neue jahr^^

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ist es egal ob man jetzt log oder ln schreibt?

Dummerweise ist das nicht egal, sondern Interpretationssache.

LOG(x) ist in der Regel der Logarithmus zu einer beliebigen Basis. Es kann aber auch per Definition für den natürlichen Logarithmus LN(x) oder den dekadischen Logarithmus LG(x) stehen. In Schulen steht der LOG(x) meist für den dekadischen Logarithmus. So wird er auch auf vielen Taschenrechnern verwendet.

Aber man kann den Logarithmus zu einer beliebigen Basis b auch wie folgt schreiben

LOG_b(x) = LN(x) / LN(b)

Damit unterscheidet sich der Logarithmus nur durch einen konstanten Faktor. Konstante Faktoren sind aber in der Grenzwertbetrachtung sehr unproblematisch.

Kennst du also den Grenzwert von LN(x + 1)/x, dann kennst du auch den Grenzwert von LOG_b(x + 1)/x = 1/LN(b) * LN(x + 1)/x

In der Regel hat aber der Dozent einmal festgelegt das LOG(x) im speziellen als LN(x) verstanden werden soll.

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Danke für die ergänzung, wünsche dir auch einen guten rutsch ins neue jahr^^

Answer 2

lim (x → 0) LN(x + 1)/x

Wir kümmern uns zunächst mal um folgenden Grenzwert

lim (x → 0) EXP(LN(x + 1)/x)
= lim (x → 0) EXP(LN(x + 1))^(1/x)
= lim (x → 0) (x + 1)^(1/x)
= e

Wie du bereits kennst. Damit der Grenzwert e^1 ist, muss der Grenzwert des Exponenten also 1 sein. Daher:

lim (x → 0) LN(x + 1)/x = 1

Answer 3

\(log(1+x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k}\)

\( log(1+x)/x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{ \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^{k-1}}\)

Nach Euler gilt

$$0^0=1$$

\( \lim\limits_{x\to0}  log(1+x)/x=\)

\( \lim\limits_{x\to0}  \sum\limits_{k=1}^{\infty}{ \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^{k-1}}=1\)