Integral berechnen wann muss ich welchen Punkt abziehen

Question

zu Aufgabe 2.5. Ich tu mich etwas schwer damit noch herauszufinden wann ich welchen Punkt abziehen muss.

In der Lösung wird g(x)-f(x) abgezogen, aber warum? Habt ihr für mich eine Eselsbrücke damit man sich sowas merken kann oder bestimmte Sachen worauf ich achten muss?

Answer 1

Die Funktionen erst einmal etwas größer.

g ( x ) = -e^{0.5*x} + e
f ( x ) = -0.5 * x + e^{-x}

~plot~ -e^{0.5*x} + e ; -0.5 * x + e^{-x} ~plot~

Geht gleich weiter.

Comments

An einer bestimmten Stelle bzw. im gesamtem Kurvenverlauf ist
der Unterschied
g ( x ) - f ( x ) = -e^{0,5*x}+e - (-0,5*x+e^{-x} ) = d ( x )

~plot~ -e^{0,5*x}+e-(-0,5*x+e^{-x}) ~plot~

An den Schnittstellen ist die Differenz 0.

Geht noch weiter

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x1 : erste Schnittstelle
x2 : zweite Schnittstelle

Die Funktion ist d ( x ) = g ( x ) - f ( x )

Die Stammfunktion ist
∫ g ( x ) - f ( x ) dx

Die Fläche ist
∫ g ( x ) - f ( x ) dx  zwischen x1 und x2

Soll nur die Fläche im ersten Quadranten berechnet werden ist das Intervall

∫ g ( x ) - f ( x ) dx  zwischen 0 und x2

Soviel zunächst.
Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Answer 2

im Allgemeinen rechnet man mit dem Betrag, also man nutzt ∫_xs1^xs2 |f(x)-g(x)|dx zur Flächenbestimmung.

Dann ist es auch egal, ob f(x) oder g(x) größer ist im Intervall [x_s1,x_s2].

In deiner Aufgabe ist g(x)>=f(x) im Intervall [x_s1,x_s2], deshalb wurde in der Musterlösung der Betrag weggelassen und g(x)-f(x) gerechnet.