Jordan Normalform berechnen GL_(4)(R)

Question

wie fange ich hier an ?

Answer 1

Erst mal die Eigenwerte bestimmen und zu jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraums.

Comments

Ich habe als Basis des Eigenraums einmal {{0,0,0,0},{0,0,0,0},{-1,0,-3,4},{-2,1,4,5}} und einmal {{3,-2,0,0},{2,-1,0,0},{-1,2,0,0},{0,1,0,0}}  heraus bekommen. Das ganze muss ich ja dann Null setzten. Bei der zweiten Matrix hab ich dann als v3 =(0,0,1,0) und als v4=(0,0,2,2) heraus. Das stimmt aber nicht mit dem überein was laut Wolframalpha für die Jordanmatrix rauskommen soll und bei der ersten Matrix komme ich  leider gar nicht weiter.

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Also das char. Polynom ist doch (x-1)^2 (x-2)^2.

Also Eigenwerte 1 und 2.

Ich habe als Basis des Eigenraums einmal {{0,0,0,0},{0,0,0,0},{-1,0,-3,4},{-2,1,4,5}} u

kann nicht stimmen, die sind doch lin. abh. also keine Basis.

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Stimmt,  die erste müsste

(1 | -1 | 0 | 0 1 | -1 | 0 | 0 0 | 1 | 1 | -2 1 | 0 | 2 | -3) sein und die zweite dann

(2 | -1 | 0 | 0 1 | 0 | 0 | 0 0 | 1 | 2 | -2 1 | 0 | 2 | -2). Und die Basen der Kerne sind dann die beiden Matrizen die ich oben gefunden habe.

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Was mache ich als nächtes, nach dem ich die Basis habe ?

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Ich komme nicht auf das richtige Polynom.

1. Schritt ist : (x-3)(x-1)(x-3)(x+1)-4

ist das richtig ?

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Irgendwas machst du falsch. Das polynom ist die

Determinante von A - x*E.  Du musst also

in der Haptdiagonale von A hinter jede Zahl - x

schreiben, sieht dann so aus

3-x    -1         0      0 
  1    1-x       0       0
  0       1      3-x       -2
1         0      2      -1-x

und davon die det ist

x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x  + 4

Das in Linearfaktoren zerlegen ( Die Nullstellen

1 und 2 kann man ja raten, also Polynomdivision

durch (x-1)(x-2) = x^2  -3x + 2 gibt

wieder  x^2  -3x + 2 also

x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x  + 4 = (x-1)² (x-2)².

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was mache ich hier falsch ? Ich komme einfach nicht auf das Ergebnis .

Ich habe :

x-3  1       0    0

-1    x-1   0     0

0    -1      x-3    2

-1   0       -2       x+1

So und det davon ist :

(x-3)(x-1)(x-3)(x+1)-4 

ich habe es dann ausmultipliziert komme aber auf nicht auf  13x² - 12x  + 4 

bei mir ist nur die x^4 und -6x^3 richtig. 

Und es ist egal ob man  A - x*E oder x*E - A macht. ist beide gleich, bei x*E - A muss man dann einfach jede Zahl - davor machen. 

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Du hast dich bei der Det. der Blockmatrix vertan. Du must rechnen

det vom Bloch oben links   (gibt   x^2 -4x +4)

* det vom Block unten rechts  gibt x^2 - 2x +1 )

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Wie meinen Sie das genau mit Block? Ich versteh es nicht ganz.

Können Sie da bitte die Rechnung ausführlich aufschreiben ?

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Wir sagen hier : "du"

x-3  1       0    0

-1    x-1   0     0

0    -1      x-3    2

-1   0       -2       x+1

Weil die 4 grünen einen =en-Block bilden, ist die

det dieser Matrix

Det der roten 2x2 Matrix * Det der blauen 2x2 Matrix.

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Ich habe es endlich raus.

AAAAH Super ! VIelen Dank.

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Und jetzt die Eigenvektoren ? Also 1 in x einsetzen.

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Und wenn du dann die richtigen Eigenwerte λ₁=1  und λ₂=2  hast, bestimmst du die
Dimension von  Kern ( A - λ₁*E )  hier 1
dann von    Kern ( A - λ₁*E )^2 hier 2
dann von    Kern ( A - λ₁*E )^3  hier auch 2  .
Und wenn sich die Dimension nicht mehr ändert hast du das p, die
Größe des größten zu λ₁ gehörigen Blocks.

Das ist bei beiden Eigenwerten die 2, also hats du die Jordanform
1     1      0      0
0     1      0       0
o      0     2       1
0       0     0      2

und das rote ist das Jodankästchen zu  λ₁=1
und das blaue  ist das Jodankästchen zu  λ₂=2.

Jetzt mach ich aber erst mal Feierabend.
Viel Erfolg noch.

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Hast du den Rest auch hinbekommen ?

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Ist das möglicherweise nochmals dasselbe?

https://www.mathelounge.de/357189/jordan-matrix-bestimmem-gl_-4-r-aufgabe-1

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Ich bin grade dabei T zu berechnen.

Aber meine Eigenvektoren sind falsch.

Ich habe einmal 0 0 1 1 für eigenwert 1

und einmal 1 1 1 1 für eigenwert 2.

ich brauche aber insgesamt vier eigenvektoren. wie komme ich dahin ?

sind das nicht :

Eigenvektorem für lamda = 1 :

0 0 1 1 und 0 0 1 0

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Ich beginne mit Ker((A-E)^2) das ist für (lamda-1)^2 :

dann habe ich (A-E)^2 =

3   -2  0 0

2   -1  0 0

-1   2  0 0

0    1  0 0

ist das so richtig ?

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Ich habe einmal 0 0 1 1 für eigenwert 1

und einmal 1 1 1 1 für eigenwert 2.

Das brauchst, wenn die Matrix Diagonalform hätte,

dann gibt es immer eine Basis aus lauter Eigenvektoren.

ich brauche aber insgesamt vier eigenvektoren. wie komme ich dahin ?

Hier musst du ja noch die Basen der verallgemeinerten Eigenräume

(A - λ E ) ^2 bestimmen.

Das gibt    für  λ = 1

( 0,0,1,1 ) und ( 0,0,1,0 )

und dann nimmst du einen davon * (A - λ E ) .

Also etwa  (A - λ E ) * ( 0,0,1,0 )  = ( 0,0,2,2 )

Dann hast du schon mal die ersten beiden Splaten von T.

Und  für    λ = 2  entsprechend. Du erhältst z. B.

die Basis   ( 4 , 3 , 0 , 1 ) und ( 3 , 2 , -1 , 0 )  und dann etwa

  (A - λ E ) * ( 3,2,-1,0 )  = ( 1 , 1 , 1 , 1  ) .

Das gibt dann die 3. und 4. Spalte, also eine Möglichkeit

T =
0 0 1 3
0 0 1 2
2 1 1 -1
2 0 1 0

Probe:  T^-1 * A * T  klappt.

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wie bist du auf einzelnen Basen gekommen ?

für lamda = 1 habe ich : 0 0 1 0 und 0 0 0 1

stimmt das ?

für lamda = 2 bekomme ich erstmal nicht die Basen raus, die du hast.

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Es gibt ja immer mehrere Möglichkeiten.

Für  lambda = 1  stimmt deine Basis auch.

Denn wenn du deine Basisvektoren addierst, erhältst

du auch den ersten von mir.

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Kannst du bitte die Basis für Lamda = 2 berechnen ?

ich habe : (A-2*E) :

1 -1   0 0

1 - 1  0 0

0   1  1  -2

1  0   2  -3

Ich habe dann am Ende x1 = x2

und x3 = x4 .

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Ich korrigiere :

(a-2e)^2 =

0 0  0 0

0 0  0 0

-1 0 -3 4

-2 1 -4 5

Dann habe ich :

0 0 0 0

0 0 0 0

-1 0 -3 4

0 -1 -2 3

wie soll es dann weiter gehen ?

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Aufgabe gelöst. Vielen Dank @mathef !

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Du sieht, dass aus den ersten beiden Gleichungen folgt, das

x3 u= s und x4 = t beliebig gewählt werden können.

Dann ist  aus der 3. Gleichung

   -3s + 4t = x1 und aus der 4.

  -2s + 3t = x2 also insgesamt

(      -3s + 4t  ;    -2s + 3t  ;  s  ; t ) =  s* ( -3 ; -2 ; 1 ; 0 ) + t* ( 4 ; 3  ; 0 ; 1 )

und eine Basis ist  { ( -3 ; -2 ; 1 ; 0 ) , ( 4 ; 3  ; 0 ; 1 )}

oben hatte ich statt des ersten ( 3 ; 2 ; -1 ; 0 ) aber das ist ja egal.

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"Und  für    λ = 2  entsprechend. Du erhältst z. B. 

die Basis   ( 4 , 3 , 0 , 1 ) und ( 3 , 2 , -1 , 0 )  und dann etwa 

  (A - λ E ) * ( 3,2,-1,0 )  = ( 1 , 1 , 1 , 1  ) . "
muss es nicht eher    (A - 2 E ) * ( 3,2,-1,0 )  sein ?

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Genau, das ist ja der Fall   λ = 2 also      λ  oder  2  hier egal.

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Ich verstehe ! Vielen Vielen Dank für deine Hilfe !

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Ich blicke bei dem ganzen noch nicht wirklich durch Ich komm weder auf die Jordanmartix noch auf die Matrix von T. Ich habe die Eigenwerte und folgende zwei Matrizen. Für den EW 2  habe ich die Matrix:

 0 0  0 0

 0 0  0 0

-1 0 -3 4

-2 1 -4 5 erhalte. Auch auf die Umformung

 0 0  0  0

 0 0  0  0

-1 0 -3  4

 0 -1 -2 3 ist mir klar. Ab hier komm ich dann nicht weiter.

Für den EW 1 habe ich die Matrix:

 3 -2 0 0

 2 -1 0 0

-1  2 0 0

 0  1 0 0 am Ende raus.Komme hier aber bei der gar nicht weiter.

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Auch auf die Umformung

 0 0  0  0

 0 0  0  0

-1 0 -3  4

 0 -1 -2 3 ist mir klar. Ab hier komm ich dann nicht weiter.

Die letzten beiden Zeilen bedeuten ja Gleichungen, die sich leicht

nach x1 bzw. x2 auflösen lassen.

Die 3. gibt

-3x₃ + 4x₄ = x1   und die 4.

-2x₃ + 3x₄ = x2

wenn du nun also  x₃ und x₄  beliebig wählst, etwa

x₃ = s  und  x₄ = t  hats du für den Lösungsvektor

(  -3s+ 4t  ;  -2s+ 3t ;    s   ;    t   )

=  s* ( -3  ; -2  ; 1  ;  0)  + t *  (  4   ;   3   ;   0   ;   1)

Also bilden    ( -3  ; -2  ; 1  ;  0)  und  (  4   ;   3   ;   0   ;   1)

eine Basis des Lösungsraumes.

Für den EW 1 habe ich die Matrix:

 3 -2 0 0

 2 -1 0 0

-1  2 0 0

 0  1 0 0    am Ende raus.Komme hier aber bei der gar nicht weiter.
Kein Wunder, du musst in den Zeilen 0-Zeilen erzeugen, nicht in den
Spalten. Dann genauso wie oben.

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Für die Matrix zum Eigenwert 1 hab ich jetzt die Matrix

3 -2 0 0

0 -1 0 0

0  0 0 0

0  0 0 0 heraus. Stimmt das?