Anzahl aller höchstens fünfstelligen Zahlen, bei denen x Ziffern verschieden sind

Question

Kombinatorik

Gesucht ist die Anzahl aller höchstens fünfstelligen Zahlen, bei denen:

a) beliebig viele Ziffern übereinstimmen dürfen;

b) alle Ziffern verschieden sind.

Lösung:

a) Führende Nullen werden weggelassen. \( 00012 \) ergibt z.B. die zweistellige Zahl \( 12 . \) Für jede der fünf Stellen gibt es 10 Auswahlmöglichkeiten. Daher lautet die gesuchte Anzahl \( x=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=10^{5}=100000 \)
Es handelt sich um die Zahlen \( 0,1,2, \ldots, 99999 \)

b) Für die erste Stelle gibt es 10 Auswahlmöglichkeiten. Da die zweite Ziffer von der ersten verschieden sein muss, gibt es hierfür nur noch 9 Auswahlmöglichkeiten. Für die dritte Stelle verbleiben noch \( 8, \) für die vierte 7 und für die fünfte Stelle 6 Auswahlmöglichkeiten. Produktbildung ergibt die gesuchte Anzahl \( x=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6=30240 \)

Das stimmt doch nicht ganz bei b, weil wenn die erste Zahl 0 wäre, dann ist es keine 5stellige Zahl mehr? Was meint ihr dazu?

Comments

Dort steht die Anzahl aller höchstens fünfstelligen Zahlen. Also passt das.

Answer 1

Dort steht die Anzahl aller höchstens fünfstelligen Zahlen. Also passt das.

 

Ich denke aber dort gibt es trotzdem einen Fehler.

Nehmen wir mal die Anzahl aller einstelligen Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 das sind 10

Nun nehmen wir die Anzahl aller verschieden zweistelligen Zahlen 10, 12, 13, ..., 98, 99 das sind 9 * 9 = 81

Anzahl verschieden dreistelliger Zahlen 9*9*8

Anzahl verschieden vierstelliger Zahlen 9*9*8*7

Anzahl verschieden fünfstelliger Zahlen 9*9*8*7*6

Macht zusammen

10 + 9·9 + 9·9·8 + 9·9·8·7 + 9·9·8·7·6 = 32491

Es sei denn ich habe da gerade einen Denkfehler gemacht.

Comments

Denn wenn die erste Ziffer einer Null ist darf auch die Zweite Ziffer eine Null sein. Denn die 12 ist ja auch eine höchstens fünfstellige Zahl bei denen alle Ziffern verschieden sind.

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Laut der Betrachtungsweise der Lösung wäre 12 = 00012 und hat also 3 Nullen und ist somit nicht erlaubt.

Das ist jetzt würde ich sagen eine Auslegungssache was man da jetzt hinein nehmen soll und was nicht. Ich plädiere aber dafür zu sagen 12 ist eine höchstens 5 stellige Zahl bei der die Ziffern alle unterschiedlich sind.

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Dieses "höchstens"irritiert mich. Dachte eher an 9*8*7*6*5

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Die 10 vorne ist schon in Ordnung. Die erste Ziffer kann auch 0 sein. Dann habe ich halt keine 5 stellige zahl sondern höchstens eine vierstellige.

Die * 9 dahinter sagt es darf alles benutzt werden außer die gerade benutzte null.

Also Klar wenn man das mit einem 5-Stelligen Sicherheitsschloss macht und fragt nach der Anzahl möglicher Zahlen, wenn alle Stellen verschieden sein sollen ist das 10*9*8*7*6.

Allerdings lautet die Fragestellung ja etwas anders.

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@mathecoach: Die zählen bei a) die Zahl 0 zu den einstelligen Zahlen dazu. So hättest du hier wohl am Schluss 1 mehr.

@mic: Ich verstehe auch, dass du die Zahlen verschiedener Länge separat zählen musst, denn trotz führenden Nullen kann ja nachher nochmals eine 0 kommen.

Die Lösung von b) stimmt auf jeden Fall nur dann, wenn man führende Nullen als Ziffern zählt. Da sind dann keine vierstelligen Zahlen möglich, die eine 0 enthalten.

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Vielen dank Lu fr die Korrektur. Ja die 0 sollte man auch mit zählen.