Gleichung mit Matrizen umstellen

Question

kann mir vielleicht jemand helfen? Wie stellt man denn Matrix-Gleichungen um?

Ich brauche die umgestellte Formel von TAT^t=D.

Falls es wichtig ist:

D=Diagonalmatrix

A=Ursprungsmatrix

T bzw. T^t= umgeformte Einheitsmatrizen (durch Spalten- oder Zeilenumformung)

 

Danke

Comments

Könntest Du in Erwägung ziehen, darüber nachzudenken, auch noch das Ziel der Umformung mitzuteilen? Natürlich nur, falls es wichtig ist...

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Oooh, ganz vergessen. Sorry. Das soll nach A umgestellt werden.

Answer 1

Sollte das nicht T^{-1} statt T^t lauten ?

T * A * T^{-1} = D

von Links mit T^{-1} und von rechts mit T multiplizieren weil T * T^{-1} = E

A = T^{-1} * D * T

Comments

Also das mit T^t stimmt eigentlich. War zumindest beim ausrechnen von Beispielen immer richtig.

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T^t ist die Transponierte von T. D.h. T wenn man nur die Zeilen mit den Spanten vertauscht.

Wenn es die Transponierte ist müssen wir die Transponierte auch invertieren.

Es gilt aber: (T^t)^{-1} = (T^{-1})^t

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Ich weiß, dass das die Transponierte ist. Ich kann ja mal shreiben, worum es eigentlich geht...

Wir hatten letztens quadratische Formen bzw. das Diagonalisieren quadr. Formen. Man kann ja quadr. Formen zum einen durch quadr. Ergänzung diagonalisieren oder indem man die Matrix erstellt und dann umformt. Die Umformungen müssen ja an Spalte und Zeile vorgenommen werden. Uns wurde  gesagt, dass die Umformungen auch parallel an den Einheitsmatrix durchgeführt werden können, das aber dort entweder nur die Spalten oder nur die Zeilen umgeformt werden sollen. Wenn man die umgeformte Einheitsmatrix dann in eine Formel einsetzt, dann soll die Matrix der gegebenen quadr. Form rauskommen. Ich wollte diese Formel wissen und habe Kommilitonen gefragt, die kannten aber nur diese Formel, die ich oben geschrieben habe. TAT^t=D. Ich dachte, dass man da halt einfach umstellen kann. Kennst du das Verfahren und vielleicht die Formel dazu? Mit der Formel TAT^t=D. hat das immer geklappt die Diagonalmatrix zu berechnen, aber ich hätte gerne die Formel, mit der ich A berechnen kann (also die Matrix, die ich von den quadr. Formen ablesen kann). Also umgeformte Einheitsmatrix multipliziert mit irgendwas ist gleich Matrix der quadr. Form.

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Du willst also aus D A und T ausrechnen ? Also das geht nicht. Weil in D schon nicht mehr so viele Informationen drinstecken. Wenn Du D und T hast kannst du damit A ausrechnen.

T * A * T^t = D

A = T^{-1} * D * (T^{-1})^t

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Ich will nicht A und T ausrechnen. Ich weiß nicht, ob du das richtig verstanden hast...

Ich habe eine quadratische Form gegeben. Davon kann ich mittels der Koeffizienten eine Matrix A ablesen. Diese kann ich durch Zeilen- und Spaltenumformungen diagonalisieren, wobei ich jede Zeilenumformung die ich mache auch bei der gleichen Spalte machen muss. Also wenn ich die erste Zeile von der zweiten abziehe muss ich danach die erste Spalte von der zweiten Spalte abziehen usw. bis alle Elemente außer in der Hauptdiagonale 0 sind. Diese Umformungen kann ich parallel an der Einheitsmatrix durchführen, wobei aber NUR Zeilenumformungen ODER NUR Spaltenumformungen gemacht werden dürfen. Mache ich z.B. Spaltenumformungen, dann müsste ich nach dem gerade genannten Beispiel hier die erste Spalte von der zweiten abziehen usw.
Wenn ich die ganzen Umformungen gemacht habe, dann bin ich ja von der Ausgangsmatrix A zur Diagonalmatrix D gekommen und habe zusätzlich noch die umgeformte Einheitsmatrix T. Es gibt eine Formel, womit ich probieren kann, ob die Umformungen stimmen. Da muss ich dann T mit D irgendwie multiplizieren. In welcher Reihenfolge und wie oft, also TDT^t oder wie auch immer, weiß ich aber nicht und das Ergebnis der Multiplikation ist dann A. Diese Formel wollte ich eigentlich wissen. Mit A=T^-1D(T^-1)^t funktioniert das (zumindest an den Beispielen die ich habe).

Gibt es da vielleicht noch eine andere Formel? Mir wurde eine gesagt, die ich aber leider nicht mehr weiß (wäre möglich das es A=T^-1D(T^-1)^t war)

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Die Formel die ich aufgeschrieben habe

A = T^-1 * D * (T^-1)^t

ist ja eine Auflösung deiner Formel nach A und muss stimmen. Die kannst du also nehmen um zu Überprüfen ob dein D und dein T richtig ausgerechnet worden sind.