Bedeutung einer Zahl in einer Funktionsgleichung erklären

Question

Hallo liebe Mathelounge-Community,habe eine Frage: folgende Funktion ist gegeben: F(x)= 1/3x³ - 2x² + 3x + 4 !Dazu jetzt folgende Frage: Erkläre die Bedeutung der +4 in der Funktionsgleichung und berechne die Gleichung der Tangente t an der stelle x=0! Davor musst ich die Gipfel und Täler berechnen. Mein Ergebnis: G(1/16/3) und T(3/4). Liebe Grüße

Answer 1

Hallo Sonnenschein,

F(x)= 1/3x³ - 2x² + 3x + 4

die Konstante 4 verschiebt den Graph von F₂(x) = 1/3x³ - 2x² + 3x  einfach um 4 nach oben, weil die Funktionswerte F(x) an jeder Stelle x um 4 größer sind:

Tangente an der Stelle x=0:

F'(x) = x² - 4x + 3  →  Tangentensteigung F'(0) = m_t = 3

F(0) = 4  ergibt den Berührpunkt B(0|4)

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]  

t:  y = 3 • (x - 0) + 4 

t:  y = 3x + 4

Gruß Wolfgang

Comments

vielen Dank für die Antwort! Eine Frage, wieso schreibst du die Konstante (...) von F₂(x)? Handelt es sich dabei um f `´(x) ?? oder was bedeutet die 2?

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Nein, da dort die +4 fehlt, ist es einfach eine andere Funktion als F. Ich hätte sie auch einfach anders nennen können.

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Ich soll jetzt den Wendepunkt von F(x) berechnen, was ich auch getan habe WP(2/14/3). Das Problem liegt nun darin, dass ich den Kurvenverlauf mithilfe der zweiten Ableitung begründen soll. Wie mache ich das? Ich habe bei GeoGebra mal die zweite Ableitung eingegeben, es erscheint meiner Ansicht nach, eine Gerade .. Ich wäre sehr dankbar, wenn du mir weiterhelfen könntest! :)

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Die 2. Ableitung F''(x) = 2x-4 ist eine Gerade die bei x=2 eine Nullstelle hat.

Für x<2 ist  F ''(x) negativ, der Graph von F ist deshalb dort - also bis zum Wendepunkt - rechtsgekrümmt.

Für x>2 ist  F ''(x) positiv, der Graph von F  ist deshalb dort - also ab dem Wendepunkt - linksgekrümmt.

Answer 2

Hallo liebe Mathelounge-Community,habe eine Frage: folgende
Funktion ist gegeben: F(x)= 1/3x³ - 2x² + 3x + 4 !Dazu jetzt folgende
Frage: Erkläre die Bedeutung der +4 in der Funktionsgleichung
und berechne die Gleichung der Tangente t an der stelle x=0!
Davor musst ich die Gipfel und Täler berechnen.
Mein Ergebnis: G(1/16/3) und T(3/4). Liebe Grüße

f ( x ) = 1/3 * x^3 - 2 * x^2 + 3 * x

durch Einfügung von + 4

f ( x ) = 1/3 * x^3 - 2 * x^2 + 3 * x + 4

Wird die Funktion um 4 Einheiten nach oben geschoben.

~plot~ 1/3 * x^3 - 2 * x^2 + 3 * x ; 1/3 * x^3 - 2 * x^2 + 3 * x + 4 ; [[ -1 | 5 | -1 | 8]]~plot~

Geht noch weiter

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f ( x ) = 1/3*x^{3} - 2*x^{2} + 3*x + 4
f ´( x ) = x^2 - 4x + 3
f ´´ ( x ) = 2 * x - 4

Stellen mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = x^2 - 4x + 3 = 0

x = 1
und
x = 3

E ( 1 |  16/3 )
E ( 3 | 4 )

Für eine Tangente gilt
f ( x ) = t ( x )  | gleiche Koordinaten von Funktion und Tangente
f ´ ( x ) = t ´( x )  | gleiche Steigung

f ´ ( 0 ) = 0^2 - 4*0 + 3 = 3
f ( 0 ) = 4

y = m * x + b
4 = 3 * 0 + b
b = 4

t ( x ) = 3 * x + 4

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Vielen Dank, auch du hast es mir super anschaulich erklärt! Ich bedanke mich immer wieder recht herzlich! Ich soll jetzt den Wendepunkt von F(x) berechnen, was ich auch getan habe WP(2/14/3). Das Problem liegt nun darin, dass ich den Kurvenverlauf mithilfe der zweiten Ableitung begründen soll. Wie mache ich das? Ich habe bei GeoGebra mal die zweite Ableitung eingegeben, es erscheint meiner Ansicht nach, eine Gerade .. Ich wäre sehr dankbar, wenn du mir weiterhelfen könntest! :)

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Begründen wir den Kurvenverlauf einmal über die erste Ableitung.

Stellen mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = x² - 4x + 3  = 0
x = 1
und
x = 3

Die erste Ableitung ist die Steigung ( Monotonie )
Wann ist die Steigung positiv / steigend  ?  : f ´( x ) > 0
x^2 - 4x + 3 > 0  | quadratische Ergänzung
x^2 - 4x + 2^2 > 2^2 - 3
( x - 2 )^2 > 1

Wenn der Betrag von x - 2 > 1 ist dann ist auch
( x -2 )^2 > 1
| x-2 | > 1
1.Fall  für positiven Term
| term |  = term
x -2 > 1
x > 3

2.Fall für negativen Term
| term | = term * (-1)
( x -2 ) * (-1) > 1
- x + 2 > 1
1 > x
x < 1

Der Funktion ist
x < 1 : steigend
x = 1 : null
1 < x < 3 : fallend ( Nachweis über f ´( x ) < 0 )
x = 3 : null
x > 3 steigend

x = 1 ist ein Hochpunkt
x = 3 ist ein Tiefpunkt

Answer 3

Folgende Funktion ist gegeben: F(x)= 1/3x^3 - 2x^2 + 3x + 4! Dazu jetzt folgende Frage: Erkläre die Bedeutung der +4 in der Funktionsgleichung und berechne die Gleichung der Tangente t an der Stelle x=0!

Die Gleichung der Tangente \(t\) an der Stelle \(x=0\) muss nicht berechnet werden, sie kann dem Funktionsterm entnommen werden; sie lautet \(t(x)=3x+4\).

Die \(+4\) ist die y-Koordinate des Schnittpunktes der Funktion \(F\) (und der Tangente \(t\)) mit der y-Achse und gleichzeitig des Berührpunktes von Funktion und Tangente an der Stelle \(x=0\).