Erwartungswert und Varianz bestimmen. Würfel: Warten auf erste Sechs.

Question

vielleicht kann mir ja jemand bei der Aufgabe helfen:

Ein idealer Würfel werde so lange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. Man betrachte die folgende Zufallsvariable X: 

X:= { 0 , falls mehr als 3 Würfe erforderlich sind

       | 10^4-^k, falls k Würfe mit k ≤ 3 erforderlich sind.

Man bestimme den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X) von X. 

vielen Dank schon mal für eure Hilfe!

Answer 1

X:= { 0 , falls mehr als 3 Würfe erforderlich sind

       | 10⁴-^k, falls k Würfe mit k ≤ 3 erforderlich sind.

Es gibt also 4 Ausprägungen von X

X=10^3   , falls k=1 , also die erste 6 erscheint im ersten Wurf, also p(X=1000) = 1/6

X=10^2   , falls k=2 , also die erste 6 erscheint im zweiten  Wurf,
                   also p(X=100) = 5/6  * 1/6  =  5 / 36

X=10^1   , falls k=3 , also die erste 6 erscheint im dritten  Wurf,
                   also p(X=10) = 5/6  * 5/6 *  1/6  =  25 / 216

X=0   hat also dann p(X=0) = 1 - 1/6  - 5 / 36   -   25/216 = 125/216.

Man bestimme den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X) von X. 

E(X) =  125/216 * 0  +  1/6 * 1000  + 5/36 * 100 +  10* 25/216 = 19625/108 ≈ 181,7

Varianz entsprechend mit der Formel.