Bestimmen Sie, für welche x aus R die Reihe konvergiert

Question

Ich muss bestimmen für welche x ∈ ℝ die Reihe konvergiert, und den Grenzwert als Funktion von x angeben.

∑^∞_n=0 (n+1) . xⁿ

Ich freue mich sehr über eine Antwort :)

Answer 1

Hier hast du einfach zwei einzelne Reihen. Einen Grenzwert bekommen wir, wenn es zu jedem Summanden ein Grenzwert existiert.

∑ (n = 0 bis ∞) ((n + 1) * x^n) = ∑ (n = 0 bis ∞) (x^n) + ∑ (n = 0 bis ∞) (n * x^n) = 1/(1-x) + x/(x-1)^2 = 1/(x - 1)^2

Die Reihen konvergieren für |x| < 1

Comments

warum ist ∑ (n = 0 bis ∞) (n * xn)  = x/(x-1)2, nach welchem Regel ?

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F(x) = ∑ (n = 1 bis ∞) (n·x^n) = x + 2·x^2 + 3·x^3 + ...

x·F(x) = ∑ (n = 1 bis ∞) (n·x^(n + 1)) = x^2 + 2·x^3 + 3·x^4 + ...

F(x) - x·F(x) = x + x^2 + x^3 + ... = ∑ (n = 1 bis ∞) (x^n)

F(x)·(1 - x) = x/(1 - x)

F(x) = x/(1 - x)^2

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wie kann man das auch mit cauchy produkt beweisen ??

Answer 2

berechne den Konvergenzradius hier mit dem Quotientenkriterium:

a_n=(n+1)

r=lim n-->∞ |a_n/a_n+1|=lim n---> ∞(n+1)/(n+2)=1

also konvergiert die Reihe für x∈(-1,1)

die äußeren Grenzen x=-1 und x=1 muss man manuell testen:

x=1 -->∑n=0^∞ n+1 --> divergiert da keine Nullfolge

x=-1: ∑n=0^∞ (n+1)*(-1)^n divergiert auch, da keine Nullfolge

Berechnung des Grenzwertes:

Integriere die Reihe einmal nach x:

man erhält: ∑n=0^∞x^n also eine geometrische Reihe.

mit q=x

Grenzwert ist dann allgemein: S=1/(1-q)=1/(1-x)

das Endergebnis müssen wir nochmal nach x ableiten, da wir dann die ursprüngliche Summe erhalten:

d/dx(1/(1-x))=1/(1-x)^2