Integralrechnung x*sqrt(sin^2(alpha) + 2*sin(alpha)*cos(alpha) + cos^2(alpha)) * d*alpha

Question

Ich muss folgende Aufgabe integrieren:

[x * sqrt(sin^2(alpha) + 2*sin(alpha) * cos(alpha) + cos^2(alpha))] * d*alpha

Als Ergebnis soll rauskommen:

x(sin(alpha) - cos(alpha)) + C

Danke schon mal für die Mühe :)

Answer 1

Hi,

es gilt

$$ \sqrt{ \sin(\alpha)^2 +2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) +\cos(\alpha)^2 }  = \sin(\alpha) + \cos(\alpha) $$

Damit gilt

$$  \int x \sqrt{ \sin(\alpha)^2 +2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) +\cos(\alpha)^2 } d\alpha = \int x \cdot  [ \sin(\alpha) + \cos(\alpha) ] d\alpha = x \cdot [ \sin(\alpha) - \cos(\alpha) ]  +C $$

Comments

Hm... muss die ausgerechnete Wurzel nicht noch in Betragsklammern?

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Hallo ich bin der Fragensteller.

Wie kommst du darauf das der Wurzelausdruck = sin(alpha) + cos(alpha) ist.

Unter den Additionstheoremen habe ich nichts gefunden, ausser das sin(alpha)^2 + cos(alpha)^2 = 1 ist und 2*sin(alpha)*cos(alpha) = sin(2*alpha) ist.

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Hi,

$$  \sin(\alpha)^2 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) + \cos(\alpha)^2 = (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 $$

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Oh shit das ist ein Binom hahaha. :D

Wie man das übersieht. Bei solchen Aufgaben denke ich schnell an Additionstheoreme.

Answer 2

hier der genaue Weg: (EINE Möglichkeit , es geht sicher auch anders)

1.  das x wird als Konstante vor das Integral geschrieben (schreibe ich im Folgenden nicht mehr mit)

2. sin^2( α)  +cos^2( α) =1

3. 2 sin(α) *cos(α) =sin(2α)

3.------->Integrand lautet dann:√( sin(2α)+1)

4.sin(2α)+1 =2 sin^2(α +Pi/4)

5.Substitution :v=α +Pi/4

dann kommst Du auf das angegebene Ergebnis.

Comments

Schritt 4 verstehe ich nicht.

Wie kommst du darauf das der Radikand sin(2*alpha) + 1 = 2*sin^2(alpha+pi/4) ist.

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das steht in einer Formelsammlung

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Wonach muss ich das dann ableiten, weil ja pi/4 dann eine Konstante wäre und dv/dx = ??

Answer 3

Hi, vereinfache zunächst den Integranden, indem du die Wurzel ausrechnest. Dann kannst du die Stammfunktion einfach hinschreiben.