Statistik: Wahrscheinlichkeit Sitzplatzverteilung (Normalverteilung)

Question

folgende Statistikaufgabe ist gegeben:

Notizen:


Binomialverteilung:
E(X)=n·p=70·0.5=35
D²(X)=n·p·(1-p)=35·0.5=17.5

Daraus folgt:
μ=35
σ²=17.5


100%-68.3%=31.7%

Ich habe meine Ideen aufgeschrieben, bin mir aber nicht sicher.

Beste Grüße

Answer 1

Sie reichen aus wenn in H1 50 bis 70 Personen wollen. Die Wahrscheinlichkeit das die Hörsäle bei zufälliger Verteilung nicht ausreichen ist also

P(50 <= X <= 70) = ∑(COMB(120, x)·0.5^120, x, 50, 70) = 0.9452

P(X < 50 oder > > 70) = 1 - 0.9452 = 0.0548

Das solltest du jetzt noch einmal mit der Normalverteilung nachrechnen. Schaffst du das alleine ?

Comments

Ich kann es versuchen, aber ich habe noch zwei Fragen:
1.) "∑(COMB(120, x)·0.5¹²⁰, x, 50, 70) = 0.9452" Wie gibt man das im normalen (nicht programmierbaren) Taschenrechner ein? Ich sehe 0.5¹²⁰, aber mit was wird diese Zahl multipliziert? Gibt es eventuell eine andere Formel?

2.) Um die Normalverteilung zu berechnen, ist die oben stehende Formel f(x)=... richtig?

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Es ist aber keine Standardnormalverteilung, oder? Wenn doch, dann gibt es eine andere Formel:

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Die Standardnormalverteilung kann nur verwendet werden, wenn μ=0 und σ=1 ist. In dieser Aufgabe sind die Parameter 0 bzw. 1. Somit kann man auch die Tabelle verwenden wie z.B.:

F_N(2.36)=0.990863

In dieser Aufgabe:
F_N(1.60)=0.945201



Ist das richtig?

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Frage 1 hat sich erledigt:

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E(X)=n·p=120·0.5=60=μ
D²(X)=n·p·(1-p)=60·0.5=30=σ²

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Mit der Normalverteilung rechnen wir:

P(50 <= X <= 70) = Φ((70 + 0.5 - μ) / σ) - Φ((50 - 0.5 - μ) / σ)

Wobei Φ(z) die kumulierte Standardnormalverteilung ist.

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Dann müsste dieses Ergebnis rauskommen:

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Denk nochmal über die Standardabweichung nach. Und vergleiche bitte mit dem Ergebnis welches ich über die Binomialverteilung ausgerechnet habe. Auch wenn die Normalverteilung nur eine Näherung ist sollte sie trotzdem schon gut an die Wahrscheinlichkeit herankommen.

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Bei der Binomialverteilung wurde berechnet, dass zu 95% der Werte zwischen 50 und 70 sein müssen und im Gegensatz dazu 5% unter 50 sowie über 70 sein müssen.
 
Ziel ist es also σ so zu bestimmen, dass 95% als Ergebnis rauskommt.
Unter der Voraussetzung, dass μ=60 ist gilt:

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Du darfst nicht das Ergebnis der Binomialverteilung nehmen und danach die Standardabweichung anpassen, sodass du dieselben Werte heraus bekommst. Woher hast du solche Ideen? Wurde das in irgendeinem Lehrbuch so gemacht. Natürlich musst du die Standardabweichung der Binomialverteilung aus der bekannten Formel richtig ausrechnen.

Wenn du die nicht kennst dann schlage bei Wikipedia oder einer gescheiten Formelsammlung nach.

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Binomialverteilung:

μ=120·0.5=60
σ²=60·(1-0.5)=30
σ=√30≈5.48

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Genau. Und damit rechnest du jetzt die Normalverteilung durch.

Und jetzt sehe ich das gerade oben. Die Φ() stehen in der Formel nicht nur weils hübscher aussieht, sondern die haben auch eine rechnerische Bedeutung.

(70 + 0.5 - 60)/22.11 = 0.4748982360

Also so könnte das ja noch gehen aber

Φ((70 + 0.5 - 60)/22.11) ≠ 0.475

Du solltest also etwas sorgfältiger arbeiten und Rechensymbole nicht nur zur Zierde verwenden.

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Parameter in der Formel der Normalverteilung einsetzen:

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(70 + 0.5 - 60)/5.48 = 1.916058394

Φ((70 + 0.5 - 60)/5.48) ≠ 1.916058394

Auch hier steht das Φ() nicht nur als nettes Schmuckwerk in der Gleichung sondern hat auch eine Bedeutung!

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Bedeutung von Φ(z):

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Nein. Ich habe oben geschrieben was Φ(z) ist.

Zitat: "Wobei Φ(z) die kumulierte Standardnormalverteilung ist."

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Kommt 0.0281 für Φ(z) raus?
0.0281·2=0.0562=5.62%

http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm

Φ(1.91)=0,9719

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Kommt 0.0281 für Φ(z) raus? 

Das hängt ganz davon ab was du für z einsetzt. Du bist denke ich nahe dran. Wenn du richtig rundest wirds noch ein Tick besser.

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Jetzt noch mal ein neuer Versuch:

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Ich geb's auf

Φ((70 + 0.5 - 60)/5.48) - Φ((50 - 0.5 - 60)/5.48)

= Φ(1.92) - Φ(-1.92)

= Φ(1.92) - (1 - Φ(1.92))

= 0.9726 - (1 - 0.9726)

= 0.9452 

= 94.52%

Nun erinnern wir uns daran was ich für die Binomialverteilung heraus hatte

P(50 <= X <= 70) = ∑(COMB(120, x)·0.5¹²⁰, x, 50, 70) = 0.9452

Das ist also das gleiche Ergebnis.

Dein FN(z) brauchst du doch nicht das ist doch Φ(z)

Warum willst du das zweimal machen. Du hast kein gutes Buch oder Skript wo die Rechnungen erklärt sind oder? Wonach lernst du ?

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Mein Ergebnis war doch fast richtig. Ich habe doch nur 1-0.9726 vergessen. Bis auf diesen Fehler und meine Rundung war es doch nah an deinem Ergebnis (94.52%→95%) dran gewesen. Jetzt weiß ich, dass im zweiten Teil der Φ(z)-Gleichung 1-z gerechnet werden muss. Im Internet findet man nur allgemeine Formeln. Wie man Schritt für Schritt diese Aufgaben berechnet wird intuitiv vorausgesetzt. Für diejenigen die Schwierigkeiten mit der Statistik haben helfen nur YouTube-Videos wie "Kurzes Tutorium Statistik" von Prof. Bertel oder das Forum Mathelounge. Ich lerne anhand von Beispielen und mit diesen Ansätzen lerne ich einen Art Ablauf. Wie man einen Mittelwert, Median oder Quartile berechnet oder ein Histogramm oder Box-Plot zeichnet, das ist mir klar. Aber die vielen verschiedenen Verteilungen sind nicht einfach und man muss auch hier den Ablauf erlernen. Ich werde mir das Video über Statistische Test ansehen, vielleicht wird es dort einfach erklärt. Ansonsten bedanke ich mich für deine Geduld und Mühe mir geholfen zu haben, was sicherlich eine schwierige Geburt war...

Beste Grüße

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Nur anhand von Videos und aus dem Internet lernen ist schwierig. Du solltest ein Mathebuch mit vielen Übungen und Beispielen bevorzugen.

Die Videos von Prof. Bertel sind sehr gut. Ich empfehle sie selber weiter. Allerdings sind Videos trügerisch wo man nachher denkt alles verstanden zu haben um dann in Übungen zu merken das man noch weit davon entfernt ist alles wirklich verstanden zu haben.

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Ich habe in ein Video ein tolles Beispiel gefunden. Dort ist der Rechenschritt 1-Φ(0.5) gut zu erkennen. Φ(0.5)=0.691462=1-0.691462≈0.31≈31%