dim(f^-1(Z)) = dim(Ker(f)) .... Beweis

Question

ich soll beweisen, dass

a) dim(f^-1 (Z)) = dim(Ker(f)) + dim (Z vereinigt Im(f))

b) dim (Ker(g*f)) = dim (Ker(f))+ dim (ker(g) vereinigt Im(f))

U,V,W sind endlich erzeugte Vektorräume, f:U -> W und g: V->W lineare Abbildungen, Z bel. Untervektorraum von V.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Comments

1.    f :  U -> V

2.   " ∩ "  bedeutet  "geschnitten mit "

Answer 1

also eher so:   f :  U -> V und  Z Untervektorraum von V.

dim(f^-1 (Z)) = dim(Ker(f)) + dim (Z  ∩  Im(f))

Dann ist das einfach nur die übliche Dimensionsformel

angewandt auf die Abbildung h, welche die Einschränkung von

f aus den Urbildraum von Z ist.

Denn deren Definitionsbereich ist f^-1 (Z) und

weil 0 aus Z  und  Ker(f) in  f^-1 (Z) , ist Ker(f) = Ker(h) .

Und Im(h) =  Z  ∩  Im(f)  

also wird aus dem Dimensionssatz angewandt auf h genau

dim(f^-1 (Z)) = dim(Ker(f)) + dim (Z  ∩  Im(f))

Das * bei b) kann ich nicht deuten, ist das vielleicht o ???